111 學測數學B 第 8 題

Question

有一射擊遊戲，將發射台設置於坐標平面的原點，並放置三個半徑為 $1$ 的圓盤靶子，其圓心分別為 $(2,2)$、$(4,6)$ 與 $(8,1)$。玩家選定一正數 $a$，並按下按鈕後，發射台將向點 $(1,a)$ 方向發射一道雷射光束（形成一射線）。假設雷射光束擊中靶子後可以穿透並繼續沿原方向前進（削過圓盤邊緣也視為擊中）。試選出正確的選項。

Accepted Answer

答案：$(1)(2)(5)$
射線通過原點且方向為 $(1,a)$，故其所在直線為 $y=ax$，選項 $(1)$ 正確。若 $a=\dfrac{3}{2}$，直線通過 $(4,6)$，所以擊中圓心為 $(4,6)$ 的靶，選項 $(2)$ 正確。對圓心 $(8,1)$，距離條件為 $\dfrac{\left|8a-1\right|}{\sqrt{a^2+1}}\leq 1$。因為 $a>0$，解得 $0<a\leq\dfrac{16}{63}$，故選項 $(5)$ 正確。三個圓盤的可擊中斜率區間沒有共同交集，但可用兩道光束擊中三個靶，因此 $(3),(4)$ 不正確。