111學測數學B多選第8題詳解

因為發射台在原點且發射方向為 $(1,a)$，所以雷射光束所在的直線為通過原點且斜率為 $a$ 的直線 $y=ax$。選項 $(1)$ 正確。 選項 $(2)$：若 $a=\frac{3}{2}$，則直線為 $y=\frac{3}{2}x$。因為 $6=\frac{3}{2}\times 4$，所以直線通過 $(4,6)$，必定擊中該靶。$(2)$ 正確。 選項 $(3)$：直線 $y=ax$（即 $ax-y=0$）到圓心 $(x_0,y_0)$、半徑 $1$ 的圓盤的擊中條件為點到直線的距離不大於半徑，即 $$\frac{|ax_0-y_0|}{\sqrt{a^2+1}}\le 1$$ 分別代入三個圓心： 圓心 $(2,2)$：平方得 $(2a-2)^2\le a^2+1$，化簡為 $3a^2-8a+3\le 0$，解得 $$\frac{4-\sqrt{7}}{3}\le a\le\frac{4+\sqrt{7}}{3}$$ 圓心 $(4,6)$：平方得 $(4a-6)^2\le a^2+1$，化簡為 $15a^2-48a+35\le 0$，解得 $$\frac{24-\sqrt{51}}{15}\le a\le\frac{24+\sqrt{51}}{15}$$ 圓心 $(8,1)$：平方得 $(8a-1)^2\le a^2+1$，化簡為 $63a^2-16a\le 0$，解得 $$0<a\le\frac{16}{63}$$ 因為三個 $a$ 的可行範圍沒有共同交集，所以一道光束不可能同時擊中三個靶。$(3)$ 錯誤。 選項 $(4)$：因為可選擇 $a=2$ 使一道光束同時擊中圓心為 $(2,2)$ 和 $(4,6)$ 的兩個靶，再發另一道光束擊中第三個靶，所以只需兩道光束即可擊中全部三個靶。$(4)$ 錯誤。 選項 $(5)$：由距離條件 $\frac{|8a-1|}{\sqrt{a^2+1}}\le 1$，平方得 $(8a-1)^2\le a^2+1$，化簡為 $63a^2-16a\le 0$，即 $a(63a-16)\le 0$。因為 $a>0$，所以 $0<a\le\frac{16}{63}$。$(5)$ 正確。 故選 $(1)(2)(5)$。