111學測數學B多選第9題詳解

$f(x)=2x^3-3x+1$。逐項分析各選項： 選項 $(1)$：因為 $f(1)=2\times 1^3-3\times 1+1=2-3+1=0$，所以 $y=f(x)$ 的圖形通過點 $(1,0)$。$(1)$ 正確。 選項 $(2)$：因為 $f(1)=0$，所以 $f(x)=(x-1)(2x^2+2x-1)$。後者 $2x^2+2x-1=0$ 的判別式為 $4+8=12>0$，有兩實根，因此 $f(x)=0$ 共有三個實根，圖形與 $x$ 軸有三個交點。$(2)$ 錯誤。 選項 $(3)$：因為 $f''(x)=12x$，所以反曲點的 $x$ 坐標為 $0$。$f(0)=1$，因此對稱中心為 $(0,1)$，不是 $(1,0)$。$(3)$ 錯誤。 選項 $(4)$：對稱中心 $(0,1)$ 處的切線斜率為 $f'(0)=-3$，切線方程式為 $y=-3x+1$，不是 $y=3x-3$。$(4)$ 錯誤。 選項 $(5)$：因為平移不改變三次項的係數，而 $3x^3-6x^2+2x$ 的三次項係數為 $3$，與 $f(x)$ 的係數 $2$ 不同，所以無法由 $y=f(x)$ 經平移得到。$(5)$ 錯誤。 故選 $(1)$。