111學測數學B多選第10題詳解

甲班：$y_1=0.8x_1+20$，乙班：$y_2=0.75x_2+25$。已知 $\bar{y}_1=\bar{y}_2=60$，調整後標準差 $s_{y1}=16$、$s_{y2}=15$。 逐項分析各選項： 選項 $(1)$：因為 $y_1-x_1=20-0.2x_1$，且原始分數 $x_1\le 100$，所以 $20-0.2x_1\ge 20-20=0$，即 $y_1\ge x_1$。甲班每位同學調整後的分數均不低於原始分數。$(1)$ 正確。 選項 $(2)$：由 $\bar{y}_1=0.8\bar{x}_1+20=60$ 得 $\bar{x}_1=50$。由 $\bar{y}_2=0.75\bar{x}_2+25=60$ 得 $\bar{x}_2=\frac{35}{0.75}=\frac{140}{3}$。因為 $50>\frac{140}{3}$（$\frac{150}{3}=50>\frac{140}{3}$），所以甲班原始平均高於乙班。$(2)$ 正確。 選項 $(3)$：線性轉換 $y=ax+b$ 下標準差變為 $|a|$ 倍，所以甲班原始標準差為 $\frac{16}{0.8}=20$，乙班原始標準差為 $\frac{15}{0.75}=20$。兩者相等，因此甲班原始標準差未高於乙班。$(3)$ 錯誤。 選項 $(4)$：若 $y_{1A}>y_{1B}$，則 $0.8x_{1A}+20>0.75x_{2B}+25$，移項得 $0.8x_{1A}-0.75x_{2B}>5$。若 $x_{1A}\le x_{2B}$，則 $0.8x_{1A}-0.75x_{2B}\le 0.8x_{2B}-0.75x_{2B}=0.05x_{2B}\le 0.05\times 100=5$，不可能大於 $5$。因此 $x_{1A}>x_{2B}$ 必成立。$(4)$ 正確。 選項 $(5)$：甲班調整後不及格（$y_1<60$）對應 $0.8x_1+20<60$，即 $x_1<50$。乙班調整後不及格（$y_2<60$）對應 $0.75x_2+25<60$，即 $x_2<\frac{140}{3}$。兩班的原始不及格門檻不同（$50$ vs $\frac{140}{3}$），因此調整後不及格人數的多寡不能直接推論原始不及格人數的多寡。$(5)$ 錯誤。 故選 $(1)(2)(4)$。