111 學測數學B 第 7 題

Question

畫家把空間景物用單點透視法畫在平面的畫紙上時，有以下原則要遵守：
一、空間中的直線畫在畫紙上必須是一條直線。
二、空間直線上點的相對位置必須和畫紙所畫的點的相對位置一致。
三、空間直線上的任四個相異點的 $K$ 值，和畫紙所畫的四個點之 $K$ 值必須相同，其中 $K$ 值的定義如下：直線上任給四個有順序的相異點 $P_1,P_2,P_3,P_4$，其所對應的 $K$ 值定義為 $K=\dfrac{\overline{P_1P_4}	imes\overline{P_2P_3}}{\overline{P_1P_3}	imes\overline{P_2P_4}}$。今某畫家依照以上原則，將空間中一直線及該線上的四相異點 $Q_1,Q_2,Q_3,Q_4$ 描繪在畫紙上，其中 $\overline{Q_1Q_2}=\overline{Q_2Q_3}=\overline{Q_3Q_4}$。若將畫紙上所畫的直線視為一數線，並將線上的點用坐標來表示，則在下列選項的四個坐標中，試問哪一組最可能是該四點在畫紙上的坐標？

Accepted Answer

答案：$(5)$
因為 $\overline{Q_1Q_2}=\overline{Q_2Q_3}=\overline{Q_3Q_4}=d$，所以原空間四點的 $K$ 值為 $\dfrac{3d\cdot d}{2d\cdot 2d}=\dfrac{3}{4}$。檢查選項 $(5)$ 的 $1,7,9,10$，其 $K=\dfrac{(10-1)(9-7)}{(9-1)(10-7)}=\dfrac{9\cdot 2}{8\cdot 3}=\dfrac{3}{4}$，故選 $(5)$。