112學測數學B非選第19題詳解

📅 112 年 📝 學測數學B 第 19 題題型：非選課綱：108課綱

答案與本題考點

答案：$P(-3,1),\ B_3(3,5)$

本題考點：單點透視、坐標幾何、圓與直線、坐標化

題組

空地上有三根與地面垂直且等高的電線桿，其底座在一直線上且間距相等。以單點透視法在畫布上畫這三根電線桿。在畫布上設坐標系，使得電線桿皆與 $y$ 軸平行，三根底座的點分別為 $A_1(0,0),A_2,A_3$，都在直線 $L:x+3y=0$ 上；三根頂端的點分別為 $B_1(0,3),B_2,B_3$，都在直線 $M:2x-3y+9=0$ 上。已知 $\overline{A_3B_3}=2\overline{A_1B_1}$，且由單點透視法可知直線 $A_1B_3$ 與直線 $A_3B_1$ 的交點在直線 $A_2B_2$ 上。設 $L$ 和 $M$ 相交於 $P$ 點。

試求 $P$ 與 $B_3$ 這兩點的坐標。（非選擇題，$6$ 分）

單點透視坐標幾何圓與直線

解題手法坐標化〔AI 推測〕

答案

$P(-3,1),\ B_3(3,5)$

答案取自官方答案頁或官方參考解答。

詳解

求 $P$：$L:x+3y=0$ 與 $M:2x-3y+9=0$ 的交點。兩式相加得 $3x+9=0$，$x=-3$；代回得 $y=1$。所以 $P(-3,1)$。求 $B_3$：電線桿與 $y$ 軸平行，$A_3$ 與 $B_3$ 的 $x$ 坐標相同。設 $A_3=(t,y_0)$ 在 $L$ 上，則 $y_0=-\frac{t}{3}$。因為 $\overline{A_1B_1}=3$（$A_1(0,0)$ 到 $B_1(0,3)$），且 $\overline{A_3B_3}=2\overline{A_1B_1}=6$，所以 $B_3=(t,-\frac{t}{3}+6)$。$B_3$ 在 $M$ 上：$2t-3(-\frac{t}{3}+6)+9=3t-9=0$，得 $t=3$。因此 $B_3=(3,5)$。故 $P(-3,1)$、$B_3(3,5)$。

題目來源：民國112年學測數學B 第19題（來源PDF第7頁）

資料版本：2026-06-29（commit 2a28ae7a）

校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。

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引用本站：大考雷達站，〈112學測數學B非選第19題詳解〉，資料版本 2026-06-29，https://twmath.com/questions/112_02B_q19.html

解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。