題組
空地上有三根與地面垂直且等高的電線桿,其底座在一直線上且間距相等。以單點透視法在畫布上畫這三根電線桿。在畫布上設坐標系,使得電線桿皆與 $y$ 軸平行,三根底座的點分別為 $A_1(0,0),A_2,A_3$,都在直線 $L:x+3y=0$ 上;三根頂端的點分別為 $B_1(0,3),B_2,B_3$,都在直線 $M:2x-3y+9=0$ 上。已知 $\overline{A_3B_3}=2\overline{A_1B_1}$,且由單點透視法可知直線 $A_1B_3$ 與直線 $A_3B_1$ 的交點在直線 $A_2B_2$ 上。設 $L$ 和 $M$ 相交於 $P$ 點。
若向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{PA_1}=k\overset{\large\rightharpoonup}{PA_3}$,則 $k$ 的值為 ____。(化為最簡分數)