112學測數學B選填第18題詳解

1. 先求 $P$。因為 $P$ 是 $L$ 與 $M$ 的交點，把 $x+3y=0$ 與 $2x-3y+9=0$ 相加，$y$ 的項相消得 $3x+9=0$，所以 $x=-3$，代回得 $y=1$，即 $P(-3,1)$。 2. 再求 $A_3$。因為電線桿與 $y$ 軸平行，$A_3$ 與 $B_3$ 的 $x$ 坐標相同，設為 $t$；由 $A_3$ 在 $L$ 上得 $A_3=\left(t,-\frac{t}{3}\right)$，由 $B_3$ 在 $M$ 上得 $B_3=\left(t,\frac{2t+9}{3}\right)$。 3. 因為 $\overline{A_1B_1}=3$ 而題目給 $\overline{A_3B_3}=2\overline{A_1B_1}=6$，且 $$\overline{A_3B_3}=\dfrac{2t+9}{3}-\left(-\dfrac{t}{3}\right)=\dfrac{3t+9}{3}=t+3,$$ 所以 $t+3=6$，得 $t=3$，即 $A_3=(3,-1)$。 4. 因此 $$\overset{\large\rightharpoonup}{PA_1}=(0,0)-(-3,1)=(3,-1),\;\overset{\large\rightharpoonup}{PA_3}=(3,-1)-(-3,1)=(6,-2).$$ 5. 因為 $(3,-1)=\frac{1}{2}(6,-2)$，所以 $k=\frac{1}{2}$。 故 $k=\frac{1}{2}$。