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112學測數學B選填第17題詳解

📅 112 年 📝 學測數學B 第 17 題 題型：選填 課綱：108課綱

答案與本題考點

答案：$108$

本題考點：排列組合、數列與級數、排列、組合與二項式定理、分類討論

題目

考慮所有只用 $0,1,2$ 三種數字組成的序列 ，序列長度 $n$ 是指該序列由 $n$ 個數字組成（可重複出現）。令 $a(n)$ 為在所有長度 $n$ 的序列中連續兩個零（即 $00$）出現的次數總和。例如長度 $3$ 的序列中含有連續兩個零 的有 $000,001,002,100,200$，其中 $000$ 貢獻 $2$ 次 $00$，其餘各貢獻 $1$ 次 $00$，故 $a(3)=6$。則 $a(5)$ 的值為 ____。
排列組合數列與級數排列、組合與二項式定理
解題手法分類討論〔AI 推測〕

答案

答案

$108$

答案取自官方答案頁或官方參考解答。

詳解

詳解
1. 因為要數的是「所有長度 $5$ 的序列中，$00$ 出現的次數總和」，改成按位置計數比較方便：長度 $5$ 的序列裡，相鄰兩位的位置有第 $1$、$2$ 位，第 $2$、$3$ 位，第 $3$、$4$ 位，第 $4$、$5$ 位，共 $4$ 個。 2. 因為固定某一個相鄰位置放 $00$ 之後，其餘 $3$ 位每位都可以是 $0$、$1$、$2$，所以這樣的序列有 $3^3=27$ 個。 3. 因為把四個位置各自的個數加起來，恰好等於所有序列中 $00$ 出現的總次數（同一個序列若有兩處 $00$ 就會在兩個位置各被算一次，正是題目要的算法），所以 $$a(5)=4\times 27=108.$$ 4. 用同樣方法驗證題目給的例子：長度 $3$ 有 $2$ 個相鄰位置、其餘 $1$ 位有 $3$ 種，得 $a(3)=2\times 3=6$，與題目相符。 故 $a(5)=108$。

題目來源：民國112年學測數學B 第17題（來源PDF第6頁）

資料版本：2026-06-29（commit 2a28ae7a）

校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。

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引用本站：大考雷達站，〈112學測數學B選填第17題詳解〉，資料版本 2026-06-29，https://twmath.com/questions/112_02B_q17.html

解析狀態：本解析由 AI 輔助產出，未經人工審核，非官方詳解，僅供學習參考。如與官方公告不同，請以官方公告為準。