113學測數學B單選第3題詳解

如圖，目標物在 $P(12,10)$，兩面牆分別為水平線段 $\overline{AB}$（$y=5$，$x$ 在區間 $[10,15]$）與 $\overline{CD}$（$y=6$，$x$ 在區間 $[0,9]$）。玩家在 $Q$ 點射擊，連線 $\overline{QP}$ 不可與兩面牆相交。 逐一檢查各選項的 $Q$ 點與 $P(12,10)$ 的連線： 1. 選項 $(1)$：$Q(6,3)$。 因為 $\overline{QP}$ 從 $y=3$ 上升到 $y=10$，經過 $y=5$ 和 $y=6$。 在 $y=5$ 時 $x=6+(12-6)\times\frac{2}{7}=\frac{54}{7}$，$\frac{54}{7}$ 不在區間 $[10,15]$ 內，所以不碰到 $\overline{AB}$。 在 $y=6$ 時 $x=6+(12-6)\times\frac{3}{7}=\frac{60}{7}$，$\frac{60}{7}$ 在區間 $[0,9]$ 內，且 $y=6$ 恰在牆上，所以會碰到 $\overline{CD}$。 因此 $(1)$ 不行。 2. 選項 $(2)$：$Q(7,3)$。 在 $y=5$ 時 $x=7+(12-7)\times\frac{2}{7}=\frac{59}{7}$，$\frac{59}{7}$ 不在區間 $[10,15]$ 內，所以不碰到 $\overline{AB}$。 在 $y=6$ 時 $x=7+(12-7)\times\frac{3}{7}=\frac{64}{7}$，$\frac{64}{7}$ 不在區間 $[0,9]$ 內，所以不碰到 $\overline{CD}$。 且連線在 $y=5$ 與 $y=6$ 之間也不經過 $\overline{AB}$（因為當 $y=5$ 時 $x<10$）。 因此 $(2)$ 可行。 3. 選項 $(3)$：$Q(8,5)$。 因為 $y=5$ 恰在牆 $\overline{AB}$ 的高度上，且 $x=8$ 不在區間 $[10,15]$ 內。 但連線從 $y=5$ 上升，由計算可知連線與兩牆皆相交。 因此 $(3)$ 不行。 4. 選項 $(4)$：$Q(9,1)$。 在 $y=5$ 時 $x=9+(12-9)\times\frac{4}{9}=\frac{31}{3}$，$\frac{31}{3}$ 在區間 $[10,15]$ 內，所以會碰到 $\overline{AB}$。 因此 $(4)$ 不行。 5. 選項 $(5)$：$Q(9,2)$。 在 $y=5$ 時 $x=9+(12-9)\times\frac{3}{8}=\frac{81}{8}$，$\frac{81}{8}$ 在區間 $[10,15]$ 內，所以會碰到 $\overline{AB}$。 因此 $(5)$ 不行。 故選 $(2)$。