97指考數學乙選填第9題詳解

因為矩陣集合中 $a,b,c$ 各有 $4$ 種選擇，所以共有 $4^3=64$ 個矩陣。上三角矩陣的行列式為 $$ \det\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}=ac. $$ 行列式不為 $0$ 必須同時有 $a\ne0$、$c\ne0$；此時 $a,c$ 各有 $3$ 種選擇，$b$ 仍有 $4$ 種選擇，共 $3\times3\times4=36$ 個。 因此行列式為 $0$ 的機率為 $$ \frac{64-36}{64}=\frac{28}{64}=\frac{7}{16}. $$ 故填 $\frac{7}{16}$。