1. 建立空間直角坐標系：
以 $A$ 為原點 $O(0, 0, 0)$。
- $x$ 軸沿著向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB}$ 方向。設 $$B = (1, 0, 0)$$。
- $y$ 軸沿著向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{AD}$ 方向。設 $$D = (0, 1, 0)$$。
- $z$ 軸沿著向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{AE}$ 方向。設 $$E = (0, 0, 1)$$。
2. 在此坐標系下，各頂點的坐標為：
- $$A = (0, 0, 0)$$
- $$B = (1, 0, 0)$$
- $$D = (0, 1, 0)$$
- $G$ 是與 $A$ 相對的長方體底面頂點，故有：$$G = B + D + E = (1, 1, 1)$$。
3. 我們要找出平面 $BDG$ 的方程式。設方程式為 $$\dfrac{x}{p} + \dfrac{y}{q} + \dfrac{z}{r} = 1$$：
- 平面過 $B(1, 0, 0) \implies p = 1$。
- 平面過 $D(0, 1, 0) \implies q = 1$。
- 平面過 $G(1, 1, 1) \implies \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{r} = 1 \implies 2 + \dfrac{1}{r} = 1 \implies r = -1$。
因此，平面 $BDG$ 的方程式為：$$x + y - z = 1$$。
4. 已知 $P$ 點在平面 $BDG$ 上，且其向量表示為 $$\overset{\large\rightharpoonup}{AP} = \dfrac{1}{3} \overset{\large\rightharpoonup}{AB} + 2 \overset{\large\rightharpoonup}{AD} + a \overset{\large\rightharpoonup}{AE}$$。
在我們的坐標系下，向量 $\overset{\large\rightharpoonup}{AP}$ 的分量即為 $P$ 點的空間坐標：
$$P = \left(\dfrac{1}{3}, 2, a\right)$$。
5. 將 $P\left(\dfrac{1}{3}, 2, a\right)$ 代入平面 $BDG$ 的方程式 $$x + y - z = 1$$：
$$\dfrac{1}{3} + 2 - a = 1 \implies \dfrac{7}{3} - a = 1 \implies a = \dfrac{7}{3} - 1 = \dfrac{4}{3}$$。
6. 對應題目格式 $$\dfrac{\text{\textcircled{30}}}{\text{\textcircled{31}}}$$，即為 $4/3$（已為最簡分數）。
