$\overline{BD} = \sqrt{15^2 + 20^2} = 25$。 令 $A$ 在 $\overline{BD}$ 上的垂足為 $H_1$，則 $\overline{AH_1} = \dfrac{15 \times 20}{25} = 12$，$\overline{BH_1} = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9$。 令 $C$ 在 $\overline{BD}$ 上的垂足為 $H_2$，則 $\overline{CH_2} = 12$，$\overline{DH_2} = 9 \implies \overline{BH_2} = 25 - 9 = 16$。 因平面 $ABD \perp$ 平面 $CBD$，建立空間座標系： 設 $H_1$ 為原點 $(0,0,0)$，$\overline{BD}$ 沿 $x$ 軸方向，$A$ 點在 $y$ 軸上。 則 $H_1 = (0,0,0)$，$A = (0, 12, 0)$，$H_2 = (16-9, 0, 0) = (7, 0, 0)$，$C = (7, 0, 12)$。 兩點距離： $$\overline{AC} = \sqrt{(7-0)^2 + (0-12)^2 + (12-0)^2} = \sqrt{49 + 144 + 144} = \sqrt{337}$$ 故填 $337$。