107學測數學選填第19題詳解

首先求出各內角： 在 $\triangle ABD$ 中，$\angle BAD = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$。 在 $\triangle ACD$ 中，$\angle ADC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$，$\angle CAD = 180^\circ - 120^\circ - 45^\circ = 15^\circ$。 利用正弦定理： 在 $\triangle ABD$ 中，$\dfrac{\overline{BD}}{\sin 45^\circ} = \dfrac{\overline{AD}}{\sin 75^\circ} \implies \overline{BD} = \overline{AD} \dfrac{\sin 45^\circ}{\sin 75^\circ}$。 在 $\triangle ACD$ 中，$\dfrac{\overline{CD}}{\sin 15^\circ} = \dfrac{\overline{AD}}{\sin 45^\circ} \implies \overline{CD} = \overline{AD} \dfrac{\sin 15^\circ}{\sin 45^\circ}$。 則 $\overline{BD} : \overline{CD} = \dfrac{\sin 45^\circ}{\sin 75^\circ} : \dfrac{\sin 15^\circ}{\sin 45^\circ} = \sin^2 45^\circ : (\sin 75^\circ \sin 15^\circ)$。 因 $\sin 75^\circ \sin 15^\circ = \dfrac{1}{2}(\cos 60^\circ - \cos 90^\circ) = \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{2} - 0) = \dfrac{1}{4}$。 故 $\overline{BD} : \overline{CD} = \dfrac{1}{2} : \dfrac{1}{4} = 2 : 1$。 由分點公式得： $$\overset{\large\rightharpoonup}{AD} = \dfrac{1}{2+1} \overset{\large\rightharpoonup}{AB} + \dfrac{2}{2+1} \overset{\large\rightharpoonup}{AC} = \dfrac{1}{3} \overset{\large\rightharpoonup}{AB} + \dfrac{2}{3} \overset{\large\rightharpoonup}{AC}$$ 得 $s = \dfrac{1}{3}, t = \dfrac{2}{3}$。