因為 $A, P, M$ 三點共線，我們可設 $\overset{\large\rightharpoonup}{AM} = k \overset{\large\rightharpoonup}{AP}$。 將其代入已知線性組合： $$\overset{\large\rightharpoonup}{AM} = k \left( \dfrac{1}{2}\overset{\large\rightharpoonup}{AB} + \dfrac{1}{5}\overset{\large\rightharpoonup}{AC} \right) = \dfrac{k}{2}\overset{\large\rightharpoonup}{AB} + \dfrac{k}{5}\overset{\large\rightharpoonup}{AC}$$ 又因為點 $M$ 落在直線 $BC$ 上，根據平面向量分點公式，其 $\overset{\large\rightharpoonup}{AB}$ 與 $\overset{\large\rightharpoonup}{AC}$ 的係數和必為 $1$： $$\dfrac{k}{2} + \dfrac{k}{5} = 1 \implies \dfrac{7k}{10} = 1 \implies k = \dfrac{10}{7}$$ 由此可得： $$\overset{\large\rightharpoonup}{AM} = \dfrac{10}{7} \overset{\large\rightharpoonup}{AP} = \dfrac{10}{7} (\dfrac{4}{3}, \dfrac{5}{6}) = (\dfrac{40}{21}, \dfrac{25}{21})$$ 故得答案。