設差數列 $d_n = a_n - a_{n-1} = f(n)$。根據給定數列項： - $d_2 = a_2 - a_1 = 2 - 1 = 1 \implies f(2) = 1$ - $d_3 = a_3 - a_2 = 5 - 2 = 3 \implies f(3) = 3$ - $d_4 = a_4 - a_3 = 12 - 5 = 7 \implies f(4) = 7$ 設二次多項式為 $f(x) = p x^2 + q x + r$。將 $x=2, 3, 4$ 代入得： $$\begin{cases} 4p + 2q + r = 1 \\ 9p + 3q + r = 3 \\ 16p + 4q + r = 7 \end{cases}$$ 相鄰兩方程相減以消去 $r$： $$\begin{cases} 5p + q = 2 \\ 7p + q = 4 \end{cases} \implies 2p = 2 \implies p = 1, q = -3, r = 3$$ 得二次多項式為： $$f(x) = x^2 - 3x + 3$$ 因此： $$f(5) = 5^2 - 3(5) + 3 = 13$$ 故五項為： $$a_5 = a_4 + f(5) = 12 + 13 = 25$$。