106學測數學選填第14題詳解

1. 由題意 $a_n = a_{n-1} + f(n-2)$，可得 $a_n - a_{n-1} = f(n-2)$。 因此： $$\begin{aligned} f(0) &= a_2 - a_1 = 2 - 1 = 1, \\ f(1) &= a_3 - a_2 = 5 - 2 = 3, \\ f(2) &= a_4 - a_3 = 12 - 5 = 7. \end{aligned}$$ 2. 設 $f(x) = px^2 + qx + r$。代入 $x = 0,1,2$： $$\begin{aligned} r &= 1, \\ p + q + r &= 3, \\ 4p + 2q + r &= 7. \end{aligned}$$ 因為 $r=1$，所以 $p+q=2$、$2p+q=3$，得 $p=1,q=1$。 因此 $f(x) = x^2 + x + 1$。 3. 計算 $f(3) = 3^2 + 3 + 1 = 13$， 所以 $a_5 = a_4 + f(3) = 12 + 13 = 25$。