根據一次因式檢驗法（牛頓定理），此整係數三次方程式的有理根 $\dfrac{p}{q}$，其中 $p$ 必為常數項 $1$ 的因數，而 $q$ 必為首項係數 $5$ 的因數。 因此可能的有理根為： $$\pm 1, \pm \dfrac{1}{5}$$ 因為 $a$ 為正整數，方程式的所有係數皆為正數，代入任何正實數都不可能使方程式為零，故方程式的所有實根必為負實數。因此，其有理根只能是： $$-1, -\dfrac{1}{5}$$ 設方程式的三個有理根為 $\alpha, \beta, \gamma$（皆為負數）。由根與係數的關係可知，三根之積為： $$\alpha \beta \gamma = -\dfrac{1}{5}$$ 由於三根皆為負有理根，且只能是 $-1$ 或 $-1/5$，唯一可能的組合為： $$\alpha = -1, \beta = -1, \gamma = -\dfrac{1}{5}$$ 此時三根之和為： $$\alpha + \beta + \gamma = -1 - 1 - \dfrac{1}{5} = -\dfrac{11}{5}$$ 根據根與係數關係，三根之和等於 $-\dfrac{a+4}{5}$： $$-\dfrac{a+4}{5} = -\dfrac{11}{5} \implies a+4 = 11 \implies a = 7$$ 故正整數 $a = 7$。