106學測數學選填第16題詳解

根據一次因式檢驗法，此整係數三次方程式的有理根 $\frac{p}{q}$， 其中 $p$ 必為常數項 $1$ 的因數，$q$ 必為首項係數 $5$ 的因數。 因此可能的有理根為： $$\pm 1,\;\pm\frac{1}{5}.$$ 因為 $a$ 為正整數，方程式的所有係數皆為正數，代入任何正實數都不可能使方程式為零， 所以方程式的所有實根必為負實數。因此有理根只能是： $$-1,\;-\frac{1}{5}.$$ 設方程式的三個有理根為 $\alpha,\beta,\gamma$（皆為負數）。由根與係數關係，三根之積為： $$\alpha\beta\gamma = -\frac{1}{5}.$$ 因為三根皆為負有理根且只能是 $-1$ 或 $-\frac{1}{5}$，唯一可能的組合為： $$\alpha = -1,\;\beta = -1,\;\gamma = -\frac{1}{5}.$$ 此時三根之和為： $$\alpha+\beta+\gamma = -1-1-\frac{1}{5} = -\frac{11}{5}.$$ 由根與係數，三根之和等於 $-\frac{a+4}{5}$： $$-\frac{a+4}{5} = -\frac{11}{5} \implies a+4 = 11 \implies a = 7.$$ 故正整數 $a = 7$。