由於數列 $a_1, a_2, \dots, a_9$ 為等差數列，滿足 $a_n - a_{n-1} = d$（等差公差）。 我們觀察方程組的係數矩陣 $M$ 的各列： - 第一列係數：$(a_1, -a_2, 2a_3)$ - 第二列係數：$(a_4, -a_5, 2a_6)$ - 第三列係數：$(a_7, -a_8, 2a_9)$ 因為等差性質，我們有： - $a_1 + a_7 = 2 a_4$ - $-a_2 + (-a_8) = 2(-a_5)$ - $2a_3 + 2a_9 = 2(2a_6)$ 這代表係數矩陣的第一列與第三列之和，恰為第二列的兩倍。 對於方程組有解，其常數項必須滿足相同的線性組合限制，否則消去法後會得到 $0 = C \ne 0$ 的矛盾（無解）。 因此常數項必須滿足： $$(k+1) + (k+9) = 2(-k-5)$$ $$2k + 10 = -2k - 10 \implies 4k = -20 \implies k = -5$$ 故 $k = -5$。