108學測數學選填第19題詳解

1. 設正立方體的邊長為 $L$。任兩頂點之間的最大距離為體對角線長 $L\sqrt{3}$。 2. 因為正立方體有一個頂點在平面 $z = 0$ 上、另一個頂點在平面 $z = 6$ 上，所以兩頂點的 $z$ 坐標差為 $6$。 因為任兩頂點在 $z$ 方向的投影長度不可能超過兩點間的實際距離，所以： 因為兩頂點間的最大可能距離為 $L\sqrt{3}$，所以 $6 \le L\sqrt{3}$。 因此 $L \ge \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$。 3. 因為此下界可達成：令正立方體的體對角線方向平行於 $z$ 軸，則對角頂點的高度差恰為 $L\sqrt{3}$。取 $L = 2\sqrt{3}$ 時，高度差恰為 $6$。 所以正立方體邊長的最小可能值為 $2\sqrt{3}$。 故填 $2\sqrt{3}$。