108學測數學選填第18題詳解

首先分析角度與線段關係： • 考慮 $\Delta BDE$，外角 $\angle AEB = 120^{\circ}$ 等於兩內對角之和： $$\angle AEB = \angle EDB + \angle EBD \Rightarrow 120^{\circ} = 60^{\circ} + \angle EBD \Rightarrow \angle EBD = 60^{\circ}$$ 因 $\angle EDB = 60^{\circ}$ 且 $\angle EBD = 60^{\circ}$，可知 $\Delta BDE$ 為正三角形，故： $$\overline{BD} = \overline{BE} = \overline{ED} = 7$$ • 考慮 $\Delta ACD$，$\angle C = 30^{\circ}$ 且 $\angle ADC = 180^{\circ} - \angle EDB = 120^{\circ}$： 可求得 $\angle CAD = 180^{\circ} - (120^{\circ} + 30^{\circ}) = 30^{\circ}$。 因為 $\angle CAD = \angle C = 30^{\circ}$，可知 $\Delta ACD$ 為等腰三角形，故： $$\overline{AD} = \overline{CD} = 15$$ • 由此可得 $\overline{AE} = \overline{AD} - \overline{ED} = 15 - 7 = 8$。 最後，在 $\Delta ABE$ 中，已知 $\overline{AE} = 8$、$\overline{BE} = 7$ 且 $\angle AEB = 120^{\circ}$，由餘弦定理： $$\overline{AB}^2 = \overline{AE}^2 + \overline{BE}^2 - 2\overline{AE}\cdot\overline{BE}\cos 120^{\circ}$$ $$\overline{AB}^2 = 8^2 + 7^2 - 2(8)(7)\left(-\frac{1}{2}\right) = 64 + 49 + 56 = 169$$ 得 $\overline{AB} = \sqrt{169} = 13$。 答：13。