105學測數學多選第12題詳解

1. 依題意 $a=\overline{BC}=4$、$c=\overline{AB}=5$、$\angle A=20^\circ$，這是已知兩邊與其中一邊對角的 SSA 情形。由正弦定理 $$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{c}{\sin C}\implies \sin C=\dfrac{c\sin A}{a}=\dfrac{5\sin 20^\circ}{4}.$$ 2. 因為 $\sin 20^\circ<\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$，所以 $\sin C<\frac{5}{8}<1$，代表 $\angle C$ 有一銳角與一鈍角兩種可能。 3. 兩種可能都要能構成三角形。因為銳角解 $C_1$ 滿足 $\sin C_1=\frac{5\sin20^\circ}{4}<\sin 30^\circ$ 而 $C_1<30^\circ$，鈍角解為 $C_2=180^\circ-C_1>150^\circ$，此時 $\angle A+C_2<20^\circ+160^\circ<180^\circ$ 仍有剩餘，所以兩個三角形都存在，本題確實是兩解的情形。 選項 $(1)$：可以確定 $\angle B$ 的餘弦值。因為 $\angle B=180^\circ-20^\circ-\angle C$ 隨著 $\angle C$ 的兩種取值而不同，所以 $\cos B$ 不唯一，$(1)$ 錯誤。 選項 $(2)$：可以確定 $\angle C$ 的正弦值。因為第 $1$ 點已把 $\sin C$ 表示成只含已知量的式子 $\frac{5\sin 20^\circ}{4}$，所以唯一確定，$(2)$ 正確。 選項 $(3)$：可以確定面積。因為面積為 $\frac{1}{2}ac\sin B=10\sin B$，而 $\angle B$ 有兩種可能且兩者正弦不等，所以面積不唯一，$(3)$ 錯誤。 選項 $(4)$：可以確定內切圓半徑。因為內切圓半徑等於面積除以半周長，而面積與第三邊 $b$ 都不唯一，所以也不唯一，$(4)$ 錯誤。 選項 $(5)$：可以確定外接圓半徑。因為由正弦定理 $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{4}{2\sin 20^\circ}=\frac{2}{\sin 20^\circ}$，式中只有已知量，所以唯一確定，$(5)$ 正確。 故選 $(2)(5)$。