在 $\triangle ABC$ 中，已知 $a = \overline{BC} = 4$，$c = \overline{AB} = 5$，且 $\angle A = 20^\circ$。 這屬於 SSA 的邊角關係，我們使用正弦定理來分析： 1. 根據正弦定理：$$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{c}{\sin C} \implies \dfrac{4}{\sin 20^\circ} = \dfrac{5}{\sin C}$$。 由此解得：$$\sin C = \dfrac{5}{4} \sin 20^\circ$$。 因為 $20^\circ$ 為銳角且 $\sin 20^\circ \approx 0.342$，所以 $$\sin C \approx 1.25 \times 0.342 = 0.4275 < 1$$。 由於 $\sin C$ 有唯一確定的值且小於 $1$，這說明有兩個可能的 $C$ 角（一銳角，一鈍角）： - $$C_1 \approx 25.3^\circ$$ - $$C_2 \approx 180^\circ - 25.3^\circ = 154.7^\circ$$。 對應的 $B$ 角分別為： - $$B_1 = 180^\circ - 20^\circ - 25.3^\circ = 134.7^\circ$$ - $$B_2 = 180^\circ - 20^\circ - 154.7^\circ = 5.3^\circ$$。 這兩個 $B$ 角均大於 $0$，因此此條件能構成兩個不同的三角形。 2. 分析各選項： - 選項 $(1)$: 因為 $\angle B$ 有兩種可能的值，其餘弦值 $\cos B$ 也有正負兩種可能，無法唯一確定。 故 $(1)$ 錯誤。 - 選項 $(2)$: 根據正弦定理，$$\sin C = \dfrac{5}{4} \sin 20^\circ$$，其正弦值是唯一確定的。 故 $(2)$ 正確。 - 選項 $(3)$: 三角形面積為 $$\dfrac{1}{2} a c \sin B = 10 \sin B$$。因為 $\sin B$ 有兩個不同的可能值，故面積無法唯一確定。 故 $(3)$ 錯誤。 - 選項 $(4)$: 內切圓半徑 $$r = \dfrac{\text{面積}}{s} = \dfrac{2 \times \text{面積}}{a+b+c}$$。因為邊 $$b = \overline{AC} = c \cos A \pm \sqrt{a^2 - c^2 \sin^2 A}$$ 有兩個可能值，且面積亦不確定，故內切圓半徑無法唯一確定。 故 $(4)$ 錯誤。 - 選項 $(5)$: 根據正弦定理，外接圓半徑 $R$ 滿足 $$2R = \dfrac{a}{\sin A} \implies R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{4}{2\sin 20^\circ} = \dfrac{2}{\sin 20^\circ}$$。因為 $a$ 與 $\angle A$ 均為已知定值，所以外接圓半徑 $R$ 是唯一確定的。 故 $(5)$ 正確。 綜上所述，正確的選項為 $(2)(5)$。