設調分函數為 $$g(x) = 40\log_{10}\left(\dfrac{x+1}{10}\right) + 60 = 40\log_{10}(x+1) + 20$$。 分析各選項： 1. 選項 $(1)$: 當 $x = 9$ 時，代入公式： $$g(9) = 40\log_{10}(10) + 20 = 40(1) + 20 = 60\text{ 分}$$，無須四捨五入，確實為 $60$ 分。 故 $(1)$ 正確。 2. 選項 $(2)$: 設新成績大於 $70$ 分，即 $$g(x) > 70$$： $$40\log_{10}(x+1) + 20 > 70 \implies 40\log_{10}(x+1) > 50 \implies \log_{10}(x+1) > 1.25 \implies x+1 > 10^{1.25} \approx 17.78 \implies x > 16.78$$。 因為原始成績超過 $20$ 分（即 $x > 20$），此時 $x$ 必定大於 $16.78$。因此新成績必超過 $70$ 分。 故 $(2)$ 正確。 3. 選項 $(3)$: 考慮全距的定義為最大值減去最小值。調分函數 $g(x)$ 的斜率（變化率）為 $$g'(x) = \dfrac{40}{(x+1)\ln 10} \approx \dfrac{17.37}{x+1}$$。 當 $x$ 較大時，斜率小於 $1$（例如當 $x > 17$ 時，$$g'(x) < 1$$），這意味著高分段的差距會被壓縮。因此，如果全班成績普遍偏高，調整後的全距有可能縮小。 例如：若班級原始成績都在 $40$ 到 $59$ 分之間，原始全距為 $19$。而調分後 $$g(40) \approx 85$$, $$g(59) \approx 91$$，全距縮小變為 $6$。 故 $(3)$ 錯誤。 4. 選項 $(4)$: 由於調分函數 $g(x)$ 為嚴格單調遞增函數，調分前後全班同學的成績大小順序完全不變。因此，原始成績的中位數在調分後，其對應的新成績仍然是調分後成績的中位數。 故 $(4)$ 正確。 5. 選項 $(5)$: 由於調分函數 $g(x)$ 不是線性函數（它是凹函數），全班成績的平均值在調分後，不等於平均成績代入公式的結果（不符合線性疊加）。 例如：若三人分數為 $9, 9, 39$，原始平均為 $19$。對應的調分值 $$g(19) \approx 72$$。 然而，個別調分後分數為 $60, 60, 84$，調分後之全班平均為 $$(60+60+84)/3 = 68 \ne 72$$。 故 $(5)$ 錯誤。 綜上所述，正確選項為 $(1)(2)(4)$。