105學測數學多選第11題詳解

先化簡調分函數。因為 $\log_{10}\frac{x+1}{10}=\log_{10}(x+1)-1$，所以 $$g(x)=40\log_{10}\left(\dfrac{x+1}{10}\right)+60=40\log_{10}(x+1)+20.$$ 又因為 $\log_{10}$ 遞增，所以 $g$ 是嚴格遞增函數。 選項 $(1)$：原始 $9$ 分的新成績為 $60$ 分。因為 $g(9)=40\log_{10}10+20=40+20=60$，恰為整數不需四捨五入，所以 $(1)$ 正確。 選項 $(2)$：原始成績超過 $20$ 分則新成績超過 $70$ 分。因為 $g$ 遞增，只要檢查 $g(20)$：由 $g(20)=40\log_{10}21+20$，而 $21>10^{1.25}$（因為 $\left(10^{1.25}\right)^4=10^5=100000<194481=21^4$），所以 $\log_{10}21>1.25$，得 $g(20)>40\times 1.25+20=70$。因此原始成績超過 $20$ 分者的新成績更大於 $70$ 分，$(2)$ 正確。 選項 $(3)$：調整後全距一定變大。舉反例：若全班原始成績都落在 $40$ 到 $59$ 分之間，原始全距為 $19$；而 $$g(40)=40\log_{10}41+20,\;g(59)=40\log_{10}60+20,$$ 兩者相差 $40\log_{10}\frac{60}{41}$，因為 $\frac{60}{41}<\frac{3}{2}<10^{0.2}$，所以差距小於 $40\times 0.2=8$，遠小於 $19$。既然全距可能縮小，$(3)$ 錯誤。 選項 $(4)$：原始中位數者的新成績仍是新的中位數。因為 $g$ 嚴格遞增，調分不改變任何兩人的成績大小順序，所以名次完全不動，原本排在正中間的人調分後仍排在正中間，$(4)$ 正確。 選項 $(5)$：原始平均者的新成績仍是新的平均。因為 $g$ 不是一次函數，先平均再代入與先代入再平均一般不相等。以三個分數 $9$、$9$、$39$ 說明：原始平均為 $19$，而 $g(19)=40\log_{10}20+20$ 約為 $72$；但三人調分後為 $60$、$60$、$g(39)=40\log_{10}40+20$ 約為 $84$，其平均為 $\frac{60+60+84}{3}=68\ne 72$。既然兩者不一致，$(5)$ 錯誤。 故選 $(1)(2)(4)$。