109指考數學甲選填第11題詳解

1. 設觀景台頂端為 $T$，則 $\overline{OT} = 150$（公尺）。 因為俯角等於從地面點看向 $T$ 的仰角，所以由直角三角形關係： 2. 因為 $\cot 30^\circ = \frac{\overline{OA}}{\overline{OT}}$，所以 $\overline{OA} = 150 \cot 30^\circ = 150\sqrt{3}$。 因為 $\cot 60^\circ = \frac{\overline{OB}}{\overline{OT}}$，所以 $\overline{OB} = 150 \cot 60^\circ = 150 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 50\sqrt{3}$。 因為 $\cot 45^\circ = \frac{\overline{OC}}{\overline{OT}}$，所以 $\overline{OC} = 150 \cot 45^\circ = 150$。 3. $C$ 為 $\overline{AB}$ 中點。在 $\triangle OAB$ 中，由中線定理： 因為 $\overline{OA}^2 + \overline{OB}^2 = 2(\overline{OC}^2 + \overline{AC}^2)$， 所以 $(150\sqrt{3})^2 + (50\sqrt{3})^2 = 2(150^2 + \overline{AC}^2)$。 即 $67500 + 7500 = 2(22500 + \overline{AC}^2)$，$75000 = 45000 + 2\overline{AC}^2$。 所以 $\overline{AC}^2 = 15000$，$\overline{AB}^2 = 4\overline{AC}^2 = 60000$。 4. 由餘弦定理求 $\cos\angle AOB$： 因為 $\overline{AB}^2 = \overline{OA}^2 + \overline{OB}^2 - 2 \cdot \overline{OA} \cdot \overline{OB} \cdot \cos\angle AOB$， 所以 $60000 = 67500 + 7500 - 2(150\sqrt{3})(50\sqrt{3})\cos\angle AOB$。 化簡 $60000 = 75000 - 45000\cos\angle AOB$， 所以 $45000\cos\angle AOB = 15000$，得 $\cos\angle AOB = \frac{1}{3}$。 5. 因為 $\sin\angle AOB = \sqrt{1 - \cos^2\angle AOB} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$。 6. $$\begin{aligned} \triangle OAB &= \dfrac{1}{2} \cdot 150\sqrt{3} \cdot 50\sqrt{3} \cdot \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \\[4pt] &= \dfrac{1}{2} \times 22500 \times \dfrac{2\sqrt{2}}{3} = 7500\sqrt{2} \end{aligned}$$ 故填 $7500\sqrt{2}$。