(1) 點 $D$ 的切線通過 $C(3,2)$ 且過 $D(4,0)$，其斜率 $a = \dfrac{2-0}{3-4} = -2$。 切線方程式為 $y - 0 = -2(x - 4) \implies y = -2x + 8$。故 $a = -2, b = 8$。 (2) 因 $f(x)$ 通過 $A(0,0)$ 與 $D(4,0)$，故 $f(0) = 0$ 且 $f(4) = 0$。 根據因式定理，$x$ 與 $(x-4)$ 皆為 $f(x)$ 的因式，故 $f(x)$ 可被 $x(x-4) = x^2 - 4x$ 整除。 (3) 設 $f(x) = kx(x-4)(x-r)$。因在 $A(0,0)$ 的切線通過 $B(1,4)$，故 $f'(0) = \dfrac{4-0}{1-0} = 4$。 $f(x) = k(x^3 - (r+4)x^2 + 4rx) \implies f'(x) = k(3x^2 - 2(r+4)x + 4r)$。 $f'(0) = 4rk = 4 \implies rk = 1$。 又 $f'(4) = k(48 - 8(r+4) + 4r) = k(16 - 4r) = -2$。 代入 $k = 1/r$ 得 $\dfrac{16-4r}{r} = -2 \implies 16 - 4r = -2r \implies 2r = 16 \implies r = 8$。 則 $k = 1/8$。故 $f(x) = \dfrac{1}{8}x(x-4)(x-8) = \dfrac{1}{8}(x^3 - 12x^2 + 32x)$。 (4) 所求為 $\int_2^6 |x(x-4)(x-8)| dx$。 令 $u = x-4$，則積分變為 $\int_{-2}^2 |(u+4)u(u-4)| du = \int_{-2}^2 |u^3 - 16u| du$。 由於函數為偶函數，面積為 $2 \int_0^2 |u^3 - 16u| du = 2 \int_0^2 (16u - u^3) du$ $= 2 [8u^2 - \dfrac{1}{4}u^4]_0^2 = 2 [32 - 4] = 2 \times 28 = 56$。