109指考數學甲非選第12題詳解

$(1)$ 點 $D$ 的切線通過點 $C(3,2)$ 且過點 $D(4,0)$。 因為切線斜率 $a$ 等於過 $C$、$D$ 兩點的直線斜率，所以 $a = \frac{2-0}{3-4} = -2$。 因為切線過點 $D(4,0)$ 且斜率為 $-2$，所以切線方程式為 $y - 0 = -2(x - 4)$，即 $y = -2x + 8$。 因此 $a = -2$，$b = 8$。 $(2)$ 因為 $f(x)$ 的圖形通過點 $A(0,0)$ 與點 $D(4,0)$，所以 $f(0) = 0$ 且 $f(4) = 0$。 由因式定理，$x$ 與 $(x-4)$ 皆為 $f(x)$ 的因式，所以 $f(x)$ 可被 $x(x-4) = x^2 - 4x$ 整除。 $(3)$ 因為 $f(x)$ 為次數不超過 $3$ 的多項式，且可被 $x^2-4x$ 整除，所以可設 $f(x) = kx(x-4)(x-r)$，其中 $k \neq 0$。 展開：$f(x) = k[x^3 - (r+4)x^2 + 4rx]$。 微分：$f'(x) = k[3x^2 - 2(r+4)x + 4r]$。 因為在點 $A$ 的切線通過點 $B(1,4)$，且 $A = (0,0)$，所以 $f'(0) = \frac{4-0}{1-0} = 4$。 代入 $x = 0$：因為 $f'(0) = k \cdot 4r = 4$，所以 $kr = 1$。 因為在點 $D$ 的切線斜率 $f'(4) = a = -2$（由第 (1) 小題），所以 $f'(4) = k[3 \cdot 16 - 2(r+4) \cdot 4 + 4r] = k[48 - 8r - 32 + 4r] = k[16 - 4r] = -2$。 將 $k = \frac{1}{r}$ 代入 $k[16-4r] = -2$： 因為 $\frac{16-4r}{r} = -2$，所以 $16-4r = -2r$，即 $2r = 16$，得 $r = 8$。 代回 $kr = 1$ 得 $k = \frac{1}{8}$。 所以 $f(x) = \frac{1}{8}x(x-4)(x-8) = \frac{1}{8}(x^3 - 12x^2 + 32x)$。 $(4)$ 因為 $8f(x) = x(x-4)(x-8)$，所以 $\int_2^6 |8f(x)|\,dx = \int_2^6 |x(x-4)(x-8)|\,dx$。 令 $u = x-4$，則當 $x = 2$ 時 $u = -2$，當 $x = 6$ 時 $u = 2$，且 $dx = du$。 因為 $x(x-4)(x-8) = (u+4)u(u-4) = u(u^2-16) = u^3-16u$， 所以原式 $= \int_{-2}^{2} |u^3-16u|\,du$。 因為被積分函數 $|u^3-16u|$ 為偶函數，且當 $u \in [0, 2]$ 時 $u^2-16 \le 4-16 < 0$ 且 $u \ge 0$，所以 $u^3-16u \le 0$， 因此 $|u^3-16u| = 16u-u^3$。 所以 $$\begin{aligned} \int_{-2}^{2} |u^3-16u|\,du &= 2\int_0^2 (16u-u^3)\,du \\[4pt] &= 2\left[8u^2 - \frac{u^4}{4}\right]_0^2 = 2[(8 \times 4 - \frac{16}{4}) - 0] = 2[32-4] = 56 \end{aligned}$$ 故 $(1)\ a=-2, b=8$； $(3)\ f(x) = \frac{1}{8}(x^3 - 12x^2 + 32x)$； $(4)\ 56$。