(1) 給定 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ 且其一階與二階導函數分別為： $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$ $$f''(x) = 6ax + 2b$$ 依題意分析： - 原點 $(0,0)$ 在函數 $y = f(x)$ 的圖形上，代入得： $$f(0) = d = 0$$ - 圖形在原點的切線為 $y = -x$，故切線斜率為 $-1$，即一階導數在原點的值為 $-1$： $$f'(0) = c = -1$$ - 原點 $(0,0)$ 是反曲點，故二階導數在原點的值為 $0$： $$f''(0) = 2b = 0 \implies b = 0$$ 因此，求得的係數為 $b = 0$，$c = -1$，$d = 0$。 (2) 由第 (1) 小題可知，三次多項式為 $f(x) = ax^3 - x$。當 $a > 0$ 時，令 $f(x) = 0$ 可求得與 $x$ 軸的交點： $$ax^3 - x = 0 \implies x(ax^2 - 1) = 0 \implies x = 0 \text{ 或 } x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{a}}$$ 因為 $f(-x) = -f(x)$，函數 $y = f(x)$ 為奇函數，其圖形對稱於原點。因此，曲線與 $x$ 軸所圍成的兩塊有界區域面積相等。 總面積可表示為： $$\text{面積} = 2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{a}}} (0 - f(x)) \, dx = 2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{a}}} (x - ax^3) \, dx$$ $$= 2 \left[ \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{a}{4}x^4 \right]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{a}}} = 2 \left( \dfrac{1}{2a} - \dfrac{a}{4a^2} \right) = 2 \left( \dfrac{1}{2a} - \dfrac{1}{4a} \right) = 2 \left(\dfrac{1}{4a}\right) = \dfrac{1}{2a}$$ 已知所圍有界區域面積為 $2$，故： $$\dfrac{1}{2a} = 2 \implies 4a = 1 \implies a = \dfrac{1}{4}$$