99指考數學甲非選第13題詳解

(1) 直線 $L$ 過 $P(0,-6,9)$，方向向量 $(1,4,-2)$，參數式為 $$\begin{cases}x=t\\y=-6+4t\\z=9-2t\end{cases}\;(t\in\mathbb{R})$$ 代入球面 $S:x^2+y^2+z^2=54$： $$\begin{aligned} t^2+(-6+4t)^2+(9-2t)^2&=54\\[4pt] t^2+(36-48t+16t^2)+(81-36t+4t^2)&=54\\[4pt] 21t^2-84t+117&=54\\[4pt] 21t^2-84t+63&=0\\[4pt] t^2-4t+3&=0\\[4pt] (t-1)(t-3)&=0 \end{aligned}$$ 得 $t=1$ 或 $t=3$。代入參數式：$t=1$ 得 $(1,-2,7)$；$t=3$ 得 $(3,6,3)$。 (2) 在所有包含 $L$ 的平面中，與 $S$ 相交所得之圓面積最大者，為通過球心 $O(0,0,0)$ 的平面。因為此時截面圓經過球心即為大圓，所以圓半徑等於球半徑 $R=\sqrt{54}=3\sqrt{6}$，面積為 $$\pi R^2=\pi\cdot 54=54\pi$$ (3) 圓面積最小者，對應球心到平面的距離最大。在所有包含 $L$ 的平面中，球心到平面的最大距離即為球心到 $L$ 的距離。 先求球心 $O$ 到 $L$ 的垂足 $P_0$。設 $P_0$ 在 $L$ 上，參數為 $t$： $$\overset{\large\rightharpoonup}{OP_0}=(t,\,-6+4t,\,9-2t)$$ 因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP_0}\perp\overset{\large\rightharpoonup}{d}$（$\overset{\large\rightharpoonup}{d}=(1,4,-2)$ 為 $L$ 的方向向量），所以 $$\begin{aligned} \overset{\large\rightharpoonup}{OP_0}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{d}&=t\cdot 1+(-6+4t)\cdot 4+(9-2t)\cdot(-2)\\[4pt] &=t-24+16t-18+4t=21t-42=0 \end{aligned}$$ 得 $t=2$，$P_0=(2,2,5)$。 球心到 $L$ 的距離 $d=|\overset{\large\rightharpoonup}{OP_0}|=\sqrt{2^2+2^2+5^2}=\sqrt{33}$。 最小圓半徑 $r_{\min}=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{54-33}=\sqrt{21}$，面積為 $21\pi$。 該平面以 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP_0}=(2,2,5)$ 為法向量，且通過 $P_0$，方程式為 $$2(x-2)+2(y-2)+5(z-5)=0\;\implies\;2x+2y+5z=33$$