(1) 依題意，三次多項式函數 $y = f(x)$ 與水平線 $y = 25$ 交於 $x = 0, 1, 2$ 三個相異點。 因為最高次項係數為 $12$，我們可以將 $f(x)$ 設為： $$f(x) - 25 = 12x(x - 1)(x - 2) = 12(x^3 - 3x^2 + 2x)$$ $$f(x) = 12x^3 - 36x^2 + 24x + 25$$ 對其求一階導函數與二階導函數： $$f'(x) = 36x^2 - 72x + 24$$ $$f''(x) = 72x - 72$$ 令 $f''(x) = 0$ 得 $72x - 72 = 0 \implies x = 1$。 因為在 $x = 1$ 的左右兩側 $f''(x)$ 變號，故此點為反曲點。 代入 $x = 1$ 得 $y = f(1) = 25$。 所以反曲點坐標為 $(1, 25)$。 (2) 計算定積分 $\int_{0}^{2} f(x) \, dx$： $$\int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} \left( 12x(x - 1)(x - 2) + 25 \right) \, dx$$ $$= 12 \int_{0}^{2} (x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx + \int_{0}^{2} 25 \, dx$$ 先計算前項的定積分： $$\int_{0}^{2} (x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx = \left[ \dfrac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 \right]_{0}^{2} = \left(\dfrac{16}{4} - 8 + 4\right) - 0 = 0$$ 再計算後項的定積分： $$\int_{0}^{2} 25 \, dx = \Big[ 25x \Big]_{0}^{2} = 50$$ 因此所求定積分值為 $12 \times 0 + 50 = 50$。