100指考數學甲非選第13題詳解

$(1)$ 因為對數函數的定義域要求真數大於 $0$，所以 $x^3 - 12x^2 + 41x - 20 > 0$。又由不等式： $$\log(x^3 - 12x^2 + 41x - 20) \ge 1 = \log 10.$$ 因為對數函數 $y = \log t$ 為遞增函數，所以 $$x^3 - 12x^2 + 41x - 20 \ge 10 \implies x^3 - 12x^2 + 41x - 30 \ge 0.$$ 分解因式：$(x-1)(x-5)(x-6) \ge 0$。由正負號區間法，解得 $$x \ge 6 \;\text{或}\; 1 \le x \le 2.$$ 同時需滿足 $x^3 - 12x^2 + 41x - 20 > 0$，驗證 $x=1$ 時 $1 - 12 + 41 - 20 = 10 > 0$，範圍內皆滿足。 故 $x$ 的範圍為 $1 \le x \le 5$ 或 $x \ge 6$。 $(2)$ 因為底數 $3 > 1$，指數函數 $y = 3^t$ 為遞增函數，所以欲證 $3^{\cos\theta} \ge 3^{1+\sin\theta}$，等價於證明 $$\cos\theta \ge 1 + \sin\theta.$$ 移項：$\cos\theta - \sin\theta \ge 1$。因為在給定範圍內右邊為正，兩邊平方（注意驗證符號）： $$(\cos\theta - \sin\theta)^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta = 1 - \sin 2\theta \ge $$ 因此等價於 $-\sin 2\theta \ge 0$，即 $\sin 2\theta \le 0$。 當 $\frac{3}{2}\pi \le \theta \le 2\pi$ 時，$2\theta$ 滿足 $3\pi \le 2\theta \le 4\pi$。因為在此範圍內 $\sin 2\theta$ 恆為非正，所以 $\sin 2\theta \le 0$ 成立，不等式得證。