(1) 依對數不等式，真數必須大於對數底數的 $1$ 次方，即： $$x^3 - 12x^2 + 41x - 20 \ge 10^1 = 10$$ （此條件已自動保證真數大於 $0$） 移項整理得： $$x^3 - 12x^2 + 41x - 30 \ge 0$$ 我們對三次式 $P(x) = x^3 - 12x^2 + 41x - 30$ 進行因式分解： 測試整數根，代入 $x=1$ 得： $$P(1) = 1 - 12 + 41 - 30 = 0$$ 故 $(x-1)$ 為其因式。利用綜合除法或長除法分解得： $$P(x) = (x-1)(x^2 - 11x + 30) = (x-1)(x-5)(x-6)$$ 因此不等式為： $$(x-1)(x-5)(x-6) \ge 0$$ 解此不等式得 $x$ 值的範圍為： $$1 \le x \le 5 \ \text{或} \ x \ge 6$$ (2) 我們要證明當 $\dfrac{2}{3}\pi \le \theta \le \pi$ 時，$\cos\theta + 1 \ge \sqrt{3}\sin\theta$ 成立。 將不等式移項整理： $$\cos\theta - \sqrt{3}\sin\theta + 1 \ge 0$$ 利用正餘弦函數的疊合公式整理前兩項： $$\cos\theta - \sqrt{3}\sin\theta = 2\left( \dfrac{1}{2}\cos\theta - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta \right) = 2\cos\left(\theta + \dfrac{\pi}{3}\right)$$ 原不等式等價於： $$2\cos\left(\theta + \dfrac{\pi}{3}\right) + 1 \ge 0 \implies \cos\left(\theta + \dfrac{\pi}{3}\right) \ge -\dfrac{1}{2}$$ 已知 $\dfrac{2}{3}\pi \le \theta \le \pi$，將各邊加上 $\dfrac{\pi}{3}$： $$\dfrac{2}{3}\pi + \dfrac{\pi}{3} \le \theta + \dfrac{\pi}{3} \le \pi + \dfrac{\pi}{3} \implies \pi \le \theta + \dfrac{\pi}{3} \le \dfrac{4}{3}\pi$$ 在第三象限的區間 $\left[ \pi, \dfrac{4}{3}\pi \right]$ 內，餘弦函數 $\cos\phi$ 的值從 $-1$ 遞增到 $-\dfrac{1}{2}$，其值恆大於或等於 $-\dfrac{1}{2}$，即： $$\cos\left(\theta + \dfrac{\pi}{3}\right) \ge \cos\left(\dfrac{4}{3}\pi\right) = -\dfrac{1}{2}$$ 因此，$\cos\left(\theta + \dfrac{\pi}{3}\right) \ge -\dfrac{1}{2}$ 恆成立。 所以原不等式 $\cos\theta + 1 \ge \sqrt{3}\sin\theta$ 在此區間內恆成立。得證。