98學測數學選填第20題詳解

1. 設 $\overline{AP}=x$，$\overline{AQ}=y$。$\triangle APQ$ 面積為 $\triangle ABC$ 面積的一半： $$\frac{1}{2}xy\sin A=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times 10\times 9\times\sin A$$ 因為 $\sin A>0$，所以 $xy=\frac{1}{2}\times 10\times 9=45$。 2. 由餘弦定理： \begin{aligned} \overline{PQ}^2&=x^2+y^2-2xy\cos A\\[4pt] &=x^2+y^2-2\times 45\times\frac{3}{8}\\[4pt] &=x^2+y^2-\frac{135}{4} \end{aligned} 3. 在 $xy=45$ 的條件下，$x^2+y^2\ge 2xy=90$，等號成立於 $x=y=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。此時 $x=3\sqrt{5}\approx 6.71\le 10$，$y=3\sqrt{5}\approx 6.71\le 9$，符合條件。 4. 因此 $\overline{PQ}$ 的最小值： \begin{aligned} \overline{PQ}^2_{\min}&=90-\frac{135}{4}=\frac{360-135}{4}=\frac{225}{4}\\[4pt] \overline{PQ}_{\min}&=\frac{15}{2} \end{aligned} 故 $\overline{PQ}$ 的最小值為 $\frac{15}{2}$。