98 學測數學第 20 題

Question

在 $	riangle ABC$ 中，$\overline{AB}=10$，$\overline{AC}=9$，$\cos\angle BAC=\dfrac{3}{8}$。設點 $P,Q$ 分別在邊 $AB,AC$ 上使得 $	riangle APQ$ 之面積為 $	riangle ABC$ 面積之一半，則 $\overline{PQ}$ 之最小可能值為 ____。（化成最簡分數）

Accepted Answer

答案：$\dfrac{15}{2}$
設 $AP=x$、$AQ=y$。由面積條件 $\dfrac12xy\sin A=\dfrac12\cdot\dfrac12\cdot10\cdot9\sin A$，得 $xy=45$。由餘弦定理，$PQ^2=x^2+y^2-2xy\cos A=x^2+y^2-2\cdot45\cdot\dfrac38=x^2+y^2-\dfrac{135}{4}$。在 $xy=45$ 下，$x^2+y^2\ge2xy=90$，等號於 $x=y=\sqrt{45}$ 時成立，且符合 $x\le10,y\le9$。故 $PQ^2=90-\dfrac{135}{4}=\dfrac{225}{4}$，$PQ=\dfr…