根據題目示意圖與幾何給定條件，該五邊形 $ABCDE$ 的幾何結構拆解如下： 1. $\triangle ADE$ 為等腰直角三角形，其邊長滿足 $AE = ED = 2$ 且 $\angle AED = 90^\circ$。 因此，斜邊 $AD = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$。故選項 $(1)$ 正確。 2. 在 $\triangle ABD$ 中，給定 $\angle DAB = 60^\circ$，且 $\angle ABD = 45^\circ$。故選項 $(2)$ 錯誤。 3. 在 $\triangle ABD$ 中使用正弦定理： $$\dfrac{BD}{\sin(\angle DAB)} = \dfrac{AD}{\sin(\angle ABD)} \implies \dfrac{BD}{\sin 60^\circ} = \dfrac{2\sqrt{2}}{\sin 45^\circ}$$ $$BD = \dfrac{2\sqrt{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{3}$$ 因此 $BD = 2\sqrt{3}$。故選項 $(3)$ 錯誤。 4. 在 $\triangle ABD$ 中，$\angle ABD = 45^\circ$ 是正確的。故選項 $(4)$ 正確。 5. 在 $\triangle BCD$ 中，$\angle DBC = 90^\circ$ 且 $BC = 2, BD = 2\sqrt{3}$，其為一個直角三角形。 其面積為： $$\text{面積} = \dfrac{1}{2} \times BC \times BD = \dfrac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$ 因此 $\triangle BCD$ 的面積為 $2\sqrt{3}$。故選項 $(5)$ 錯誤。 故選 $(1)(4)$。