106學測數學多選第11題詳解

1. 在等腰直角 $\triangle ADE$ 中，$\overline{AE} = \overline{ED} = 2$，$\angle AED = 90^\circ$， 所以 $\overline{AD} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$。故 $(1)$ 正確。 2. 在 $\triangle ABD$ 中，已知 $\angle DAB = 60^\circ$、$\angle ABD = 45^\circ$， 所以 $\angle DAB \ne 45^\circ$。故 $(2)$ 錯誤。 3. 在 $\triangle ABD$ 中，由正弦定理： $$\frac{\overline{BD}}{\sin 60^\circ} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} \implies \overline{BD} = \frac{2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{3}.$$ 所以 $\overline{BD} = 2\sqrt{3}$，不是 $2\sqrt{6}$。故 $(3)$ 錯誤。 4. 由步驟 2，$\angle ABD = 45^\circ$，故 $(4)$ 正確。 5. $\triangle BCD$ 中，$\overline{BC}=\overline{CD}=2$，$\overline{BD}=2\sqrt{3}$。 因為 $\overline{BC}^2+\overline{CD}^2=8 < 12 = \overline{BD}^2$，由餘弦定理 $\cos\angle BCD = \frac{4+4-12}{2\cdot2\cdot2} = -\frac{1}{2}$， 得 $\sin\angle BCD = \frac{\sqrt{3}}{2}$， 面積 $= \frac{1}{2}\cdot2\cdot2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$， 不是 $2\sqrt{2}$。故 $(5)$ 錯誤。 故選 $(1)(4)$。