86學測數學選填第16題詳解

設此三角形的三個頂點為直線的交點，分別解聯立方程式： - $L_1: y=0$ 與 $L_2: 3x-2y+3=0$ 得 $A(-1, 0)$； - $L_1: y=0$ 與 $L_3: x+y-4=0$ 得 $B(4, 0)$； - $L_2: 3x-2y+3=0$ 與 $L_3: x+y-4=0$ 得 $C(1, 3)$。 計算此三角形的三邊長度： - $c = \overline{AB} = 4 - (-1) = 5$ - $b = \overline{AC} = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{13}$ - $a = \overline{BC} = \sqrt{(1 - 4)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ 此三角形的面積 $\Delta$ 為： $$\Delta = \dfrac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 3 = \dfrac{15}{2}$$ 根據正弦定理與面積公式，外接圓的直徑 $d$ 可以表示為： $$d = \dfrac{abc}{2\Delta} = \dfrac{3\sqrt{2} \times \sqrt{13} \times 5}{2 \times \dfrac{15}{2}} = \dfrac{15\sqrt{26}}{15} = \sqrt{26}$$ 故外接圓的直徑為 $\sqrt{26}$。