設對角線 $\overline{BD} = x$。因為四邊形 $ABCD$ 內接於圓，其對角互補，即 $\angle A + \angle C = 180^\circ \implies \cos C = -\cos A$。 在 $\Delta ABD$ 中，根據餘弦定理： $$x^2 = 1^2 + 4^2 - 2(1)(4) \cos A = 17 - 8 \cos A \implies \cos A = \dfrac{17-x^2}{8}$$ 在 $\Delta BCD$ 中，同樣根據餘弦定理： $$x^2 = 2^2 + 3^2 - 2(2)(3) \cos C = 13 + 12 \cos A$$ 將 $\cos A$ 的表達式代入可得： $$x^2 = 13 + 12 \left(\dfrac{17-x^2}{8}\\right) = 13 + \dfrac{3(17-x^2)}{2}$$ $$2x^2 = 26 + 51 - 3x^2 \implies 5x^2 = 77 \implies x^2 = \dfrac{77}{5}$$ 因此，對角線 $\overline{BD}$ 的長度為 $\sqrt{\dfrac{77}{5}}$。