114 學測數學A 第 17 題

Question

$	riangle ABC$ 中，已知 $\overline{AB}=\overline{BC}=3$，$\cos\angle ABC=-\dfrac18$。在 $	riangle ABC$ 的外接圓上有一點 $D$ 滿足 $\overline{BD}=4$，且 $\overline{AD}\le\overline{CD}$，則 $\overline{CD}=$____。（化為最簡根式）

Accepted Answer

答案：$3+\sqrt{2}$
由餘弦定理，$AC^2=3^2+3^2-2\cdot3\cdot3\left(-\dfrac18\right)=\dfrac{81}{4}$，故 $AC=\dfrac92$。四邊形 $ABCD$ 共圓，Ptolemy 定理給 $AB\cdot CD+BC\cdot AD=AC\cdot BD$，即 $3(CD+AD)=\dfrac92\cdot4$，所以 $AD+CD=6$。再由同圓弦長條件可得兩者為 $3-\sqrt2$ 與 $3+\sqrt2$，且 $AD\le CD$，故 $CD=3+\sqrt2$。