在 $\triangle ABC$ 中，$\cos\angle ABC=\dfrac{3^2+4^2-4^2}{2\cdot3\cdot4}=\dfrac{3}{8}$，故 $(1)$ 錯誤。 由於四邊形 $ABCD$ 為凸四邊形，對角線交點在內部，因此 $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD > \angle BAC = \angle ABC$。在 $(0, 180^\circ)$ 區間中餘弦函數為單調遞減，故 $\cos\angle BAD < \cos\angle ABC$，$(2)$ 錯誤。 由 $\triangle ACD$ 的三角形不等式 $4-3 < x < 4+3 \Rightarrow 1 < x < 7$，故 $x$ 不可能為 $1$，$(3)$ 錯誤。 為使四邊形 $ABCD$ 為凸四邊形，其內角均小於 $180^\circ$，因此 $\angle C = \angle BCA + \angle ACD < 180^\circ \Rightarrow \angle ACD < 180^\circ - \angle BCA$。由餘弦定理： $$\cos\angle ACD = \dfrac{4^2+3^2-x^2}{2\cdot4\cdot3} = \dfrac{25-x^2}{24} > \cos(180^\circ - \angle BCA) = -\cos\angle BCA = -\dfrac{23}{32}$$ 解得 $25-x^2 > -17.25 \Rightarrow x^2 < 42.25 \Rightarrow x < 6.5 = \dfrac{13}{2}$，故 $(4)$ 正確。 若 $A,B,C,D$ 四點共圓，對角互補，則 $\angle ADC=180^\circ-\angle ABC \Rightarrow \cos\angle ADC=-\dfrac{3}{8}$。由餘弦定理： $$AC^2=AD^2+CD^2-2\cdot AD\cdot CD\cos\angle ADC \Rightarrow 16=x^2+9+\dfrac{3x}{4} \Rightarrow 4x^2+3x-28=0$$ 解得 $x=\dfrac{7}{4}$ 或 $x=-4$（負值不合），故 $(5)$ 正確。 故選 $(4)(5)$。