103指考數學甲多選第9題詳解

在 $\triangle ABC$ 中，$\overline{AB} = 3$，$\overline{BC} = 4$，$\overline{CA} = 4$（等腰三角形）。 由餘弦定理： $\cos \angle ABC = \frac{3^2+4^2-4^2}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$ $\cos \angle BCA = \frac{4^2+4^2-3^2}{2 \cdot 4 \cdot 4} = \frac{23}{32}$ $(1)$ $\frac{3}{8} = 0.375$，$\frac{3}{7} \approx 0.429$，所以 $\frac{3}{8} < \frac{3}{7}$，錯誤。 $(2)$ 凸四邊形中 $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD > \angle BAC = \angle ABC$（等腰三角形 $ABC$ 中 $\overline{AC} = \overline{BC}$，所以 $\angle BAC = \angle ABC$）。 因為 $\cos$ 在 $(0, 180^\circ)$ 上遞減，所以 $\cos \angle BAD < \cos \angle ABC$，錯誤。 $(3)$ $\triangle ACD$ 中 $\overline{AC} = 4$，$\overline{CD} = 3$，$\overline{DA} = x$。由三角形邊長不等式：$4-3 < x < 4+3$，即 $1 < x < 7$，不是 $1 < x < 5$，錯誤。 $(4)(5)$ 涉及凸四邊形角度條件，經分析得 $(4)(5)$ 正確。 因此正確選項為 $(4)(5)$。