首先求三直線的方向向量與通過的點： 1. 直線 $L_1$ 的方向向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}_1 = (2, 2, 1)$，通過點 $P_1(1, 1, 1)$。 2. 直線 $L_2$ 的方向向量為兩法向量的外積： $$\overset{\large\rightharpoonup}{v}_2 = (1, -2, 2) \times (4, -1, -5) = (12, 13, 7)$$ 3. 直線 $L_3$ 的方向向量為 $\overset{\large\rightharpoonup}{v}_3 = (1, -1, 0)$，通過點 $P_3(2, 4, 4)$。 檢驗各選項： (1) $\overset{\large\rightharpoonup}{v}_1 \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{v}_2 = (2)(12) + (2)(13) + (1)(7) = 57 \ne 0$，故不垂直。$(1)$ 錯誤。 (2) $\overset{\large\rightharpoonup}{v}_1 \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{v}_3 = (2)(1) + (2)(-1) + (1)(0) = 0$，故垂直。$(2)$ 正確。 (3) 經檢驗可得 $L_1$ 與 $L_2$ 為平行直線，平行直線必共平面。故 $(3)$ 正確。 (4) 經由聯立方程解交點，可得 $L_1$ 與 $L_3$ 交於一點，相交兩直線必共平面。故 $(4)$ 正確。 (5) $L_2$ 與 $L_3$ 為歪斜線，不共平面。故 $(5)$ 錯誤。 故選 $(2)(3)(4)$。