設圓心為 $O(h, k)$，半徑為 $R$。 點 $A(0,0)$ 在圓外 $\implies OA > R \implies h^2 + k^2 > R^2$。 點 $B(2,6)$ 在圓內 $\implies OB < R \implies (h-2)^2 + (k-6)^2 < R^2$。 開展化簡得： $$(h-2)^2 + (k-6)^2 < h^2 + k^2 \implies -4h + 4 - 12k + 36 < 0 \implies h + 3k > 10$$ 只要圓心 $(h, k)$ 滿足 $h + 3k > 10$，即可找到適合的半徑 $R$。 檢驗各選項： (1) 圓心可在第二象限，例如 $O(-1, 4)$，此時 $-1 + 3(4) = 11 > 10$，滿足條件。故 $(1)$ 錯誤。 (2) 若圓心在第三象限，則 $h < 0, k < 0 \implies h + 3k < 0 < 10$，矛盾，故圓心不可能在第三象限。故 $(2)$ 錯誤。 (3) 若圓心在第一象限，例如 $O(20, 1)$，此時 $R^2 > (h-2)^2 + (k-6)^2 = 18^2 + (-5)^2 = 349 > 100 \implies R > 10$，半徑不一定小於 $10$。故 $(3)$ 錯誤。 (4) 若圓心在 $x$ 軸上，則 $k = 0 \implies h > 10$，圓心的 $x$ 坐標必定大於 $10$。故 $(4)$ 錯誤。 (5) 若圓心在第四象限，則 $h > 0, k < 0$。 因 $h + 3k > 10 \implies h > 10 - 3k > 10$（因為 $-3k > 0$）。 此時，點 $B(2,6)$ 到第四象限圓心 $O(h,k)$ 的距離平方： $$OB^2 = (h-2)^2 + (k-6)^2$$ 由於 $h > 10 \implies h-2 > 8$，且 $k < 0 \implies k-6 < -6 \implies (k-6)^2 > 36$。 因此 $OB^2 > 8^2 + (-6)^2 = 100 \implies OB > 10$。 因為 $B$ 在圓內，所以半徑 $R > OB > 10$ 恆成立。此選項 $(5)$ 正確。 故選 $(5)$。