106學測數學多選第8題詳解

1. 求 $ax^m = bx^n$ 的交點。因為 $x=0$ 恆為一交點， 所以必須在 $x \ne 0$ 時恰有 $2$ 個相異交點。 當 $x \ne 0$ 時，方程式可化為 $x^{\,m-n} = \frac{b}{a}$。 2. 設 $k = m-n \ne 0$。若此方程式在 $x \ne 0$ 時恰有 $2$ 個相異實根， 則 $k$ 必須為偶數且 $\frac{b}{a} > 0$（即 $a,b$ 同號）。 這代表 $m,n$ 必須同為偶數或同為奇數，且 $a,b$ 必須同號。 3. $m,n$ 皆為偶數且 $a,b$ 同號：$m-n$ 為偶數，滿足條件。 例如 $m=4,n=2$ 且 $a=b=1$，$x^4=x^2$ 得 $x=0,\pm1$，恰 $3$ 個交點。故 $(1)$ 正確。 $m,n$ 皆為奇數且 $a,b$ 同號：$m-n$ 為偶數，滿足條件。 例如 $m=3,n=1$ 且 $a=b=1$，$x^3=x$ 得 $x=0,\pm1$，恰 $3$ 個交點。故 $(3)$ 正確。 $m,n$ 一奇一偶：$m-n$ 為奇數，$x^{\,m-n}=\frac{b}{a}$ 只有一個實根， 總交點數只有 $2$ 個，不符合。故 $(5)$ 錯誤。 當 $a,b$ 異號時 $\frac{b}{a}<0$，$x^{\,m-n}=\frac{b}{a}$ 無實根或只有一個實根。故 $(2)(4)$ 錯誤。 故選 $(1)(3)$。