求 $a x^m = b x^n$ 的交點。因 $x=0$ 恆為一交點（因 $m, n \ge 1$ 且 $a, b \ne 0$），故必須在 $x \ne 0$ 時恰有 $2$ 個相異交點。 當 $x \ne 0$ 時，方程式可化為： $$x^{m-n} = \dfrac{b}{a}$$ 設 $k = m-n \ne 0$。若此方程式在 $x \ne 0$ 時恰有 $2$ 個相異實根，則： - $k$ 必須為偶數（無論正負）且 $\dfrac{b}{a} > 0$（即 $a, b$ 同號）。 因此，$m-n$ 必須為偶數，這代表 $m, n$ 同為偶數或同為奇數，且 $a, b$ 必須同號。 - 若 $m, n$ 皆為偶數且 $a, b$ 同號，則 $m-n$ 為偶數，滿足條件。例如 $m=4, n=2$ 且 $a=1, b=1$，得 $x^4 = x^2 \implies x^2(x^2-1) = 0 \implies x=0, \pm 1$，恰有 $3$ 個交點。故 $(1)$ 可能。 - 若 $m, n$ 皆為奇數且 $a, b$ 同號，則 $m-n$ 為偶數，滿足條件。例如 $m=3, n=1$ 且 $a=1, b=1$，得 $x^3 = x \implies x(x^2-1) = 0 \implies x=0, \pm 1$，恰有 $3$ 個交點。故 $(3)$ 可能。 故選 $(1)(3)$。