因為 $f(x)=0$ 無實根，故 $f(x)$ 恆正或恆負。 (1) 錯誤。例如 $f(x) = -x^2 - 1$ 恆負，則 $f(0) = -1 < 0$。 (2) 正確。因為 $f(x)$ 恆正或恆負，$f(1)$ 與 $f(2)$ 同號，故 $f(1)f(2) > 0$。 (3) 正確。若 $f(x)-1=0$ 有實根，則 $f(x)$ 必為恆正（若恆負則 $f(x)=1$ 無解）。設 $f(x) = a(x-h)^2 + k$，則 $a > 0$ 且 $k \le 1$。因為 $f(x)=0$ 無解，故 $k > 0$。因此 $0 < k \le 1$。對於 $f(x)=2$，即 $a(x-h)^2 + k = 2$，$a(x-h)^2 = 2-k$。因 $2-k \ge 1$ 且 $a > 0$，必有實解。 (4) 正確。若 $f(x)-1=0$ 有重根，則 $k = 1$。此時 $f(x)$ 的最小值為 $1$，故 $f(x) = \frac{1}{2}$ 無實根。 (5) 錯誤。若 $f(x)-1=0$ 有兩相異實根，則 $k < 1$。但不一定 $k \le \frac{1}{2}$。例如 $k = 0.8$ 時，$f(x)=\frac{1}{2}$ 無實根。