設點 $P$ 的座標為 $(x,y)$。\\ 已知 $Q_1(1,0)$ 且 $Q_2(-1,0)$，可表示向量： $$\overset{\large\rightharpoonup}{PQ_1} = (1-x, -y)$$ $$\overset{\large\rightharpoonup}{PQ_2} = (-1-x, -y)$$ 計算其內積： $$\overset{\large\rightharpoonup}{PQ_1} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{PQ_2} = (1-x)(-1-x) + (-y)(-y) = x^2 + y^2 - 1$$ 題目要求內積小於 $0$，即： $$x^2 + y^2 < 1$$ 這表示點 $P$ 必須落在以原點為圓心、半徑為 $1$ 的開圓盤內部。因此，題目要求即為各選項圖形與開圓盤 $x^2 + y^2 < 1$ 至少有一個交點。\\ 我們逐一分析各選項： - $(1)$ $y = \dfrac{1}{2}$： 此水平線與開圓盤相交於 $x^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 < 1 \implies x^2 < \dfrac{3}{4}$ 的區間，有交點。正確。 - $(2)$ $y = x^2 + 1$： 拋物線頂點在 $(0,1)$。由於對任意實數 $x$ 均有 $y = x^2 + 1 \ge 1$，因此除了頂點 $(0,1)$ 落在圓周上之外，圖形其餘部分均在圓盤外。與開圓盤無交點。錯誤。 - $(3)$ $-x^2 + 2y^2 = 1$： 此為開口朝 $y$ 軸的雙曲線，其頂點為 $\left(0, \pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$。\\ 因為 $\dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707 < 1$，故頂點落在開圓盤內部，有交點。正確。 - $(4)$ $4x^2 + y^2 = 1$： 此為橢圓，其 $x$ 軸上的頂點為 $\left(\pm\dfrac{1}{2}, 0\right)$。\\ 因為 $\dfrac{1}{2} < 1$，故頂點落在開圓盤內部，有交點。正確。 - $(5)$ 方程式為 $\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{y^2}{2} = 1$： 此為開口朝 $x$ 軸的雙曲線，其頂點為 $(\pm\sqrt{2}, 0)$。\\ 因為 $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$，且雙曲線上任意點滿足 $x^2 = 2 + y^2 \ge 2 \implies x^2 + y^2 \ge 2 > 1$，均在圓盤外，無交點。錯誤。\\ 故選 $(1)(3)(4)$。