102學測數學多選第10題詳解

設點 $P$ 的座標為 $(x,y)$。 已知 $Q_1(1,0)$ 且 $Q_2(-1,0)$，向量為： $$\overset{\large\rightharpoonup}{PQ_1} = (1-x,\,-y),$$ $$\overset{\large\rightharpoonup}{PQ_2} = (-1-x,\,-y).$$ 計算內積： $$\overset{\large\rightharpoonup}{PQ_1} \cdot \overset{\large\rightharpoonup}{PQ_2} = (1-x)(-1-x) + (-y)(-y) = x^2 + y^2 - 1.$$ 題目要求內積小於 $0$，即 $x^2 + y^2 < 1$。 這表示點 $P$ 必須落在以原點為圓心、半徑為 $1$ 的開圓盤內部。 因此，題目要求各選項圖形與開圓盤 $x^2 + y^2 < 1$ 至少有一個交點。 逐一分析各選項： $(1)$ $y = \frac{1}{2}$： 此水平線與開圓盤相交於 $x^2 + (\frac{1}{2})^2 < 1 \implies x^2 < \frac{3}{4}$ 的區間，有交點。正確。 $(2)$ $y = x^2 + 1$： 頂點在 $(0,1)$。因為對任意實數 $x$ 均有 $y = x^2 + 1 \ge 1$， 所以除了頂點 $(0,1)$ 落在圓周上之外，其餘部分均在圓盤外。與開圓盤無交點。錯誤。 $(3)$ $-x^2 + 2y^2 = 1$： 此為開口朝 $y$ 軸的雙曲線，頂點為 $(0, \pm\frac{1}{\sqrt{2}})$。 因為 $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707 < 1$，所以頂點落在開圓盤內部，有交點。正確。 $(4)$ $4x^2 + y^2 = 1$： 此為橢圓，$x$ 軸上的頂點為 $(\pm\frac{1}{2}, 0)$。 因為 $\frac{1}{2} < 1$，所以頂點落在開圓盤內部，有交點。正確。 $(5)$ $\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2} = 1$： 此為開口朝 $x$ 軸的雙曲線，頂點為 $(\pm\sqrt{2}, 0)$。 因為 $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$，且雙曲線上任意點滿足 $x^2 = 2 + y^2 \ge 2 \implies x^2 + y^2 \ge 2 > 1$， 均在圓盤外，無交點。錯誤。 故選 $(1)(3)(4)$。