109 學測數學第 9 題

Question

在坐標平面上，有一通過原點 $O$ 的直線 $L$，以及一半徑為 $2$、圓心為原點 $O$ 的圓 $\Gamma$。$P,Q$ 為 $\Gamma$ 上相異 $2$ 點，且 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP}$、$\overset{\large\rightharpoonup}{OQ}$ 分別與 $L$ 所夾的銳角皆為 $30^\circ$，試選出內積 $\overset{\large\rightharpoonup}{OP}$$\cdot$$\overset{\large\rightharpoonup}{OQ}$ 之值可能發生的選項。

Accepted Answer

答案：$(4)(5)$
因為 $|$\overset{\large\rightharpoonup}{OP}$|=|$\overset{\large\rightharpoonup}{OQ}$|=2$，內積為 $4\cos\phi$。與直線 $L$ 夾銳角 $30^\circ$ 的方向共有四個，兩兩夾角可能為 $60^\circ,120^\circ,180^\circ$，內積可能為 $2,-2,-4$。選項中可能發生者為 $-2$ 與 $-4$。