正方形 $S$ 的中心為焦點 $F_1$，這意味著正方形的四個頂點到 $F_1$ 的距離均相等（設為 $r$）。\\ 因此，正方形的四個頂點必定落在以 $F_1$ 為圓心、半徑為 $r$ 的圓 $C$ 上。若正方形有頂點落在橢圓 $\Gamma$ 上，則這些頂點必須是圓 $C$ 與橢圓 $\Gamma$ 的交點。\\ 在坐標系中，圓與橢圓的交點個數最多為 $4$ 個。因為圓 $C$ 的圓心為焦點 $F_1$，且圓與橢圓皆關於長軸（設為 $x$ 軸）對稱，故其交點的分布也必定關於 $x$ 軸對稱。\\ 然而，正方形的四個頂點是關於其中心 $F_1$ 呈中心對稱的。因為焦點不重合的橢圓關於其焦點 $F_1$ 並不呈中心對稱，所以正方形的四個頂點不可能同時落在橢圓上（即頂點數不能為 $4$）。\\ 同理，若有 $3$ 個頂點落在橢圓上，由於對稱性，第 $4$ 個頂點也必須落在橢圓上，這與前述矛盾（即頂點數不能為 $3$）。\\ 因此，落在橢圓上的正方形頂點數可能為 $0$、$1$ 或 $2$： - $0$ 個頂點：當圓與橢圓不相交，或者交點恰好避開正方形的頂點時。選項 $(5)$ 可能。 - $1$ 個頂點：當正方形旋轉至恰有一個頂點與橢圓相切或相交時。選項 $(1)$ 可能。 - $2$ 個頂點：當正方形旋轉至有兩個頂點（例如關於 $x$ 軸對稱的兩個頂點）同時落在橢圓上時。選項 $(2)$ 可能。\\ 故選 $(1)(2)(5)$。