84學測數學選填第12題詳解

由於兩拋物線的其中兩個交點落在直線 $x + y = 3$ 上，這表示此二交點為拋物線 $x = y^2 + 3y - 2$ 與直線 $x + y = 3$ 的交點。 我們將直線關係式 $x = 3 - y$ 代入第一條拋物線方程式： $$3 - y = y^2 + 3y - 2 \implies y^2 + 4y - 5 = 0 \implies (y + 5)(y - 1) = 0$$ 解得 $y$ 坐標為 $y = 1$ 或 $y = -5$。 - 當 $y = 1$ 時，代入直線方程式得 $x = 3 - 1 = 2$，交點為 $(2, 1)$。 - 當 $y = -5$ 時，代入直線方程式得 $x = 3 - (-5) = 8$，交點為 $(8, -5)$。 這兩個交點也必須在第二條拋物線 $y = x^2 + kx + 19$ 上。我們將點 $(2, 1)$ 代入： $$1 = 2^2 + k(2) + 19 \implies 1 = 23 + 2k \implies 2k = -22 \implies k = -11$$ 將點 $(8, -5)$ 代入驗證： $$-5 = 8^2 + k(8) + 19 \implies -5 = 83 + 8k \implies 8k = -88 \implies k = -11$$ 兩點代入求得的 $k$ 值一致。因此 $k$ 的值等於 $-11$。