設 $P(x) = \sum\limits_{k=0}^{10} a_k x^k$，其中 $a_k = k+1$； $Q(x) = \sum\limits_{i=0}^{5} b_{2i} x^{2i}$，其中 $b_{2i} = 2i+1$。 我們要求乘積 $P(x)Q(x)$ 中 $x^9$ 的係數。乘積中 $x^9$ 的項是由 $P(x)$ 中的 $a_k x^k$ 與 $Q(x)$ 中的 $b_m x^m$ 相乘且滿足 $k + m = 9$ 構成。 由於 $Q(x)$ 僅含有偶數次方項（即 $m$ 必須是偶數），為了使 $k + m = 9$ 成立，自變數 $k$ 必須為奇數（且 $0 \le k \le 9$）。 符合條件的 $(k, m)$ 組合及其對應的係數乘積列出如下： - 當 $k = 1, m = 8$ 時：$a_1 = 1+1 = 2$，$b_8 = 2(4)+1 = 9$，乘積為 $2 \times 9 = 18$ - 當 $k = 3, m = 6$ 時：$a_3 = 3+1 = 4$，$b_6 = 2(3)+1 = 7$，乘積為 $4 \times 7 = 28$ - 當 $k = 5, m = 4$ 時：$a_5 = 5+1 = 6$，$b_4 = 2(2)+1 = 5$，乘積為 $6 \times 5 = 30$ - 當 $k = 7, m = 2$ 時：$a_7 = 7+1 = 8$，$b_2 = 2(1)+1 = 3$，乘積為 $8 \times 3 = 24$ - 當 $k = 9, m = 0$ 時：$a_9 = 9+1 = 10$，$b_0 = 2(0)+1 = 1$，乘積為 $10 \times 1 = 10$ 將上述所有可能的係數乘積加總，即可得 $x^9$ 的係數： $$\text{係數} = 18 + 28 + 30 + 24 + 10 = 110$$ 因此答案為 $110$。