83學測數學選填第20題詳解

設兩多項式的最大公因式次數為 $d$。因為最低公倍式為四次式，且兩多項式次數為 $2,3$，所以 $$4+d=2+3\implies d=1.$$ 設共同根為 $r$，則 $$r^2+pr+6=0,\; r^3+pr+6=0.$$ 兩式相減得 $r^3-r^2=r^2(r-1)=0$。若 $r=0$，第一式變成 $6=0$，不可能，因此 $r=1$。代回第一式： $$1+p+6=0\implies p=-7.$$ 驗算 $p=-7$ 時，兩式分別為 $(x-1)(x-6)$ 與 $(x-1)(x-2)(x+3)$，最大公因式確為一次，最低公倍式確為四次。 故 $p=-7$。