設兩個多項式分別為： $$A(x) = x^2 + px + 6 \ \ \left(\deg(A) = 2\right)$$ $$B(x) = x^3 + px + 6 \ \ \left(\deg(B) = 3\right)$$ 已知這兩個多項式的最低公倍式 $L(x) = \text{lcm}(A(x), B(x))$ 次數為 $4$。 根據多項式最高公因式與最低公倍式的次數性質關係式： $$\deg(\text{lcm}(A, B)) = \deg(A) + \deg(B) - \deg(\text{gcd}(A, B))$$ 代入已知次數可得： $$4 = 2 + 3 - \deg(\text{gcd}(A, B)) \implies \deg(\text{gcd}(A, B)) = 1$$ 這代表多項式 $A(x)$ 與 $B(x)$ 有一個一次公因式，設此公因式為 $x - r$（其中 $r$ 為實數）。 因為 $x - r$ 同時是 $A(x)$ 與 $B(x)$ 的因式，所以 $r$ 必然是 $A(x) = 0$ 與 $B(x) = 0$ 的共同根。我們將 $r$ 代入： $$\begin{cases} r^2 + pr + 6 = 0 & (1) \\ r^3 + pr + 6 = 0 & (2) \end{cases}$$ 將方程式 $(2) - (1)$ 以消去包含 $p$ 的項： $$r^3 - r^2 = 0 \implies r^2(r - 1) = 0$$ - 若 $r = 0$，代回 $(1)$ 可得 $6 = 0$，這是不成立的矛盾。 - 因此，必有 $r = 1$。 將公根 $r = 1$ 代回 $(1)$ 中以求解 $p$： $$1^2 + p(1) + 6 = 0 \implies 1 + p + 6 = 0 \implies p = -7$$ **驗算**： 當 $p = -7$ 時： - $A(x) = x^2 - 7x + 6 = (x-1)(x-6)$ - $B(x) = x^3 - 7x + 6 = (x-1)\left(x^2 + x - 6\right) = (x-1)(x-2)(x+3)$ 此時，$\text{gcd}(A, B) = x-1$（次數為 $1$），而最低公倍式為： $$L(x) = (x-1)(x-6)(x-2)(x+3)$$ 其為四次多項式，完全符合題意。 故常數 $p = -7$。