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085_02M_q06
85 學測數學 第 6 題
📅 85 年
📝 學測數學
第 6 題
題型:單選
課綱:99課綱
已知拋物線 $\Gamma$ 的方程式為 $y=(x+1)^2 + 1$,且直線 $y=2x+2$ 與 $\Gamma$ 相切。設 $L$ 為斜率等於 $2$ 的直線,若 $L$ 與 $\Gamma$ 有兩個交點,則 $L$ 上任一點 $P$ 的坐標 $(x, y)$ 滿足下列那個關係式?(參考圖 1)
圖 1
$y > (x+1)^2 + 1$
$y < (x+1)^2 + 1$
$y = (x+1)^2 + 1$
$y > 2x + 2$
$y < 2x + 2$
二次曲線與直線的相交關係
二次曲線
答案
$(4)$
單選題
詳解
拋物線 $\Gamma: y = (x+1)^2 + 1$ 的圖形開口向上。 已知與 $\Gamma$ 相切且斜率為 $2$ 的直線方程式為 $y = 2x + 2$。 設直線 $L$ 的斜率亦為 $2$,其方程式可設為 $y = 2x + k$。若 $L$ 與拋物線 $\Gamma$ 交於相異兩點,由圖形幾何關係可知,此直線 $L$ 必須位於切線 $y = 2x + 2$ 的上方(即平移向上),因此其 $y$ 截距必須滿足 $k > 2$。 由此可知,直線 $L$ 上的任意點 $P(x, y)$,其坐標必定滿足: $$y = 2x + k > 2x + 2 \implies y > 2x + 2$$ 故選 $(4)$。
題目來源:
大學入學考試中心公開試題。
解析狀態:
本解析由 AI 輔助產出,未經人工審核,非官方詳解,僅供學習參考。如與官方公告不同,請以官方公告為準。