85學測數學單選第5題詳解

設橢圓中心為 $C(h, k)$。因為橢圓長軸平行於 $Y$ 軸，故短軸平行於 $X$ 軸。 已知短軸的一個端點為 $B(0, 4)$，因此中心 $C$ 的 $Y$ 坐標為 $k = 4$。又其中一焦點為 $F(4, 0)$，因為焦點在長軸上（即直線 $x = h$），可得中心 $C$ 的 $X$ 坐標為 $h = 4$。因此中心為 $C(4, 4)$。 計算短半軸長 $b$ 與半焦距 $c$： - $b = d(C, B) = |4 - 0| = 4$ - $c = d(C, F) = |4 - 0| = 4$ 因為長軸平行於 $Y$ 軸，橢圓參數關係式為： $$a^2 = b^2 + c^2 = 4^2 + 4^2 = 32 \implies a = 4\sqrt{2}$$ 因此此橢圓的長軸長度為： $$2a = 8\sqrt{2}$$ 故選 $(5)$。