85學測數學單選第7題詳解

設函數 $f(x) = -x \cos x$。我們先探討其圖形的對稱性與局部性質： 1. 奇偶性判定： $$f(-x) = -(-x) \cos(-x) = x \cos x = -f(x)$$ 這表明 $f(x)$ 是一個奇函數，其函數圖形必須對稱於原點。觀察選項，圖形 $(D)$ 與 $(E)$ 均關於 $Y$ 軸對稱（偶函數），而圖形 $(C)$ 一個 $x$ 對應多個 $y$，並非函數圖形。因此僅剩 $(A)$ 與 $(B)$ 符合對稱性質。 2. 原點附近局部特徵： 當 $x \to 0$ 且 $x > 0$（在 $Y$ 軸右側且靠近 $Y$ 軸）時，因為 $\cos x > 0$，所以： $$f(x) = -x \cos x < 0$$ 此時函數圖形在右側應位於第四象限（$y < 0$）。 - 圖形 $(A)$ 在 $x > 0$ 時 $y > 0$，不符。 - 圖形 $(B)$ 在 $x > 0$ 且接近 $0$ 時 $y < 0$，符合特徵。 故選 $(2)$。