98指考數學甲非選第12題詳解

(1) 要使 $\int_a^b f(x)\,dx$ 最大，積分區間應選在 $f(x)\ge 0$ 的範圍。 分析 $f(x)=x(1-x)(1+x^2)$ 的符號：因為 $1+x^2>0$ 恆成立，符號由 $x(1-x)$ 決定。當 $x\in[0,1]$ 時 $x(1-x)\ge 0$，故 $f(x)\ge 0$。取 $a=0$，$b=1$。 \begin{aligned} \int_0^1 f(x)\,dx&=\int_0^1 x(1-x)(1+x^2)\,dx\\[4pt] &=\int_0^1 (x-x^2)(1+x^2)\,dx\\[4pt] &=\int_0^1 (x-x^2+x^3-x^4)\,dx\\[4pt] &=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}-\frac{x^5}{5}\right]_0^1\\[4pt] &=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\\[4pt] &=\frac{30-20+15-12}{60}=\frac{13}{60} \end{aligned} 故 $a=0$，$b=1$，最大值 $\frac{13}{60}$。 (2) 對 $c>0$，計算 $\int_{-c}^c f(x)\,dx$： \begin{aligned} \int_{-c}^c f(x)\,dx&=\int_{-c}^c (x-x^2+x^3-x^4)\,dx \end{aligned} 積分區間為對稱區間 $[-c,c]$。$x$ 和 $x^3$ 為奇函數，積分為 $0$。$-x^2$ 和 $-x^4$ 為偶函數： \begin{aligned} \int_{-c}^c f(x)\,dx&=\int_{-c}^c (-x^2-x^4)\,dx\\[4pt] &=2\int_0^c (-x^2-x^4)\,dx\\[4pt] &=2\left[-\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\right]_0^c\\[4pt] &=-2\!\left(\frac{c^3}{3}+\frac{c^5}{5}\right) \end{aligned} 因為 $c>0$，所以 $\frac{c^3}{3}+\frac{c^5}{5}>0$，故 $\int_{-c}^c f(x)\,dx<0$ 恆為負值。