(1) 要使定積分 $\int_a^b f(x) dx$ 達到最大值，積分區間 $[a, b]$ 應該精確選擇在函數 $f(x) \ge 0$ 的非負區域。 分析 $f(x) = x(1-x)(1+x^2)$ 的正負符號： - 由於 $1+x^2 > 0$ 對所有實數 $x$ 恆成立，因此 $f(x)$ 的正負號完全由 $x(1-x)$ 決定。 - 當 $0 \le x \le 1$ 時， $x(1-x) \ge 0 \implies f(x) \ge 0$。 - 當 $x < 0$ 或 $x > 1$ 時， $x(1-x) < 0 \implies f(x) < 0$。 積分區間應選為 $a = 0, b = 1$。 計算此定積分的最大值： $\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 x(1-x)(1+x^2) dx = \int_0^1 (x-x^2)(1+x^2) dx$ $= \int_0^1 (x - x^2 + x^3 - x^4) dx$ $= \left[ \dfrac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{3}x^3 + \dfrac{1}{4}x^4 - \dfrac{1}{5}x^5 \right]_0^1$ $= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5}$ $= \dfrac{30 - 20 + 15 - 12}{60} = \dfrac{13}{60}$。 所以最大值為 $\dfrac{13}{60}$。 (2) 對於 $c > 0$，我們計算定積分： $\int_{-c}^c f(x) dx = \int_{-c}^c (x - x^2 + x^3 - x^4) dx$。 由於積分區間為對稱區間 $[-c, c]$，利用奇函數定積分為 $0$ 的性質： - 函數 $g(x) = x$ 與 $h(x) = x^3$ 是奇函數，因此 $\int_{-c}^c x dx = 0$ 且 $\int_{-c}^c x^3 dx = 0$。 原式可簡化為對偶函數的定積分： $\int_{-c}^c f(x) dx = \int_{-c}^c (-x^2 - x^4) dx = 2 \int_0^c (-x^2 - x^4) dx$ $= 2 \left[ -\dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{5}x^5 \right]_0^c$ $= -2 \left( \dfrac{1}{3}c^3 + \dfrac{1}{5}c^5 \right)$。 因為 $c > 0$，所以 $c^3 > 0$ 且 $c^5 > 0$。 這代表 $\dfrac{1}{3}c^3 + \dfrac{1}{5}c^5 > 0$。 故 $\int_{-c}^c f(x) dx = -2 \left( \dfrac{1}{3}c^3 + \dfrac{1}{5}c^5 \right) < 0$ 恆為負值。得證。