區域 $R$ 是由圓 $x^2 + y^2 \le 4$ 內部與直線 $y \ge 1$ 的上半平面所交集的弓形區域。 我們要求邊界的交點，即解方程組： $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y = 1 \end{cases} $$ 代入得 $x^2 + 1 = 4 \implies x = \pm \sqrt{3}$。 因此兩端點為 $A(-\sqrt{3}, 1)$ 與 $B(\sqrt{3}, 1)$。 令目標函數為 $k = x+y$，即直線方程式 $x+y-k = 0$。 1. **求最大值 $M$**： 當直線 $x+y=k$ 在第一象限與圓 $x^2 + y^2 = 4$ 相切時，$k$ 有最大值。 根據圓心 $(0,0)$ 到切線的距離等於半徑 $2$： $d(O, L) = \dfrac{|0+0-k|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = 2 \implies \dfrac{|k|}{\sqrt{2}} = 2 \implies k = 2\sqrt{2}$ （取正值）。 此切點坐標為 $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$，其 $y$ 坐標為 $\sqrt{2} \approx 1.414 \ge 1$，在區域 $R$ 內。 因此，最大值 $M = 2\sqrt{2}$。 2. **求最小值 $m$**： 隨著直線 $x+y=k$ 向左下方平移， $k$ 值減小。最小值會發生在邊界頂點上。 我們代入兩端點 $A(-\sqrt{3}, 1)$ 與 $B(\sqrt{3}, 1)$ 進行比較： - 代入 $A(-\sqrt{3}, 1)$ 得： $k = 1 - \sqrt{3} \approx 1 - 1.732 = -0.732$。 - 代入 $B(\sqrt{3}, 1)$ 得： $k = 1 + \sqrt{3} \approx 2.732$。 - 若代入弓形弧上其他點，其 $x+y$ 皆大於 $1 - \sqrt{3}$。 因此，最小值 $m = 1 - \sqrt{3}$。 綜上所述，最大值為 $2\sqrt{2}$，最小值為 $1-\sqrt{3}$。