在 $\triangle PBC$ 中，已知三邊長分別為 $BC = 5$, $\overline{PB}=4$, $\overline{PC}=3$。 因為 $\overline{PB}^{\,2} + \overline{PC}^{\,2} = 4^2 + 3^2 = 25 = BC^2$， 根據畢氏定理逆定理， $\triangle PBC$ 為以 $P$ 為直角的直角三角形，即 $\angle BPC = 90^\circ$。 在直角 $\triangle PBC$ 中，我們有： $\cos \angle PBC = \dfrac{\overline{PB}}{BC} = \dfrac{4}{5} = 0.8$ $\sin \angle PBC = \dfrac{\overline{PC}}{BC} = \dfrac{3}{5} = 0.6$。 由於 $\triangle ABC$ 是邊長為 $5$ 的正三角形，其內角 $\angle ABC = 60^\circ$。 因為點 $P$ 在三角形內部，故： $\angle ABP = \angle ABC - \angle PBC = 60^\circ - \angle PBC$。 我們使用餘弦的和差角公式計算 $\cos \angle ABP$： $\cos \angle ABP = \cos(60^\circ - \angle PBC) = \cos 60^\circ \cos \angle PBC + \sin 60^\circ \sin \angle PBC$ $= \dfrac{1}{2} \times 0.8 + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times 0.6$ $= 0.4 + 0.3\sqrt{3}$。 代入 $\sqrt{3} \approx 1.732$： $\cos \angle ABP \approx 0.4 + 0.3 \times 1.732 = 0.4 + 0.5196 = 0.9196 \approx 0.92$。 故 $\cos \angle ABP$ 的值約為 $0.92$。