由內角平分線定理（Angle Bisector Theorem）， $$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = \dfrac{\overline{BD}}{\overline{DC}} = \dfrac{5}{7}$$ 設 $\overline{AB} = 5t$， $\overline{AC} = 7t$，其中 $t > 0$。 已知 $\overline{BC} = \overline{BD} + \overline{DC} = 5 + 7 = 12$，且 $\angle B = 60^\circ$。 在 $\Delta ABC$ 中使用餘弦定理： $$\overline{AC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 - 2\overline{AB} \cdot \overline{BC} \cos B$$ $$(7t)^2 = (5t)^2 + 12^2 - 2(5t)(12) \cos 60^\circ$$ $$49t^2 = 25t^2 + 144 - 120t \times \dfrac{1}{2}$$ $$24t^2 + 60t - 144 = 0$$ 同除以 $12$： $$2t^2 + 5t - 12 = 0 \implies (2t - 3)(t + 4) = 0$$ 因為 $t > 0$，所以 $t = \dfrac{3}{2}$。 從而得到： $$\overline{AB} = 5t = \dfrac{15}{2}$$ $$\overline{AC} = 7t = \dfrac{21}{2}$$ (1) 在 $\Delta ABC$ 中，由正弦定理： $$\dfrac{\overline{AB}}{\sin\angle ACB} = \dfrac{\overline{AC}}{\sin\angle ABC} \implies \sin\angle ACB = \dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}} \sin 60^\circ = \dfrac{5}{7} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{5\sqrt{3}}{14}$$ (2) 因為 $\angle BAC = 180^\circ - (60^\circ + \angle ACB)$： $$\sin\angle BAC = \sin(120^\circ - \angle ACB) = \sin 120^\circ \cos\angle ACB - \cos 120^\circ \sin\angle ACB$$ 由第(1)小題知 $\sin\angle ACB = \dfrac{5\sqrt{3}}{14}$。 且因 $\overline{AB} < \overline{AC} \implies \angle ACB < \angle ABC = 60^\circ$，故 $\cos\angle ACB > 0$： $$\cos\angle ACB = \sqrt{1 - \sin^2\angle ACB} = \sqrt{1 - \dfrac{75}{196}} = \sqrt{\dfrac{121}{196}} = \dfrac{11}{14}$$ 代入求正弦值： $$\sin\angle BAC = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{11}{14} - \left(-\dfrac{1}{2}\right) \times \dfrac{5\sqrt{3}}{14} = \dfrac{11\sqrt{3} + 5\sqrt{3}}{28} = \dfrac{16\sqrt{3}}{28} = \dfrac{4\sqrt{3}}{7}$$ (3) 由前面的計算可知 $\overline{AB} = \dfrac{15}{2}$。