設 $\triangle ABC$ 的外接圓圓心為 $O$，外接圓半徑 $R = 8$。\\ 因為 $\triangle ABC$ 為銳角三角形，圓心 $O$ 落在三角形內部。\\ 設圓心 $O$ 到弦 $\overline{AB}$ 和 $\overline{BC}$ 的弦心距分別為 $d_1 = 2$，$d_2 = 7$。\\ 由直角三角形之幾何關係，可求得半弦長： $$\dfrac{AB}{2} = \sqrt{8^2 - 2^2} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15} \implies AB = 4\sqrt{15}$$ $$\dfrac{BC}{2} = \sqrt{8^2 - 7^2} = \sqrt{15} \implies BC = 2\sqrt{15}$$ 設圓心角 $\angle AOB = 2\theta_1$，$\angle BOC = 2\theta_2$。可得： $$\cos \theta_1 = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}, \ \ \sin \theta_1 = \dfrac{2\sqrt{15}}{8} = \dfrac{\sqrt{15}}{4}$$ $$\cos \theta_2 = \dfrac{7}{8}, \ \ \sin \theta_2 = \dfrac{\sqrt{15}}{8}$$ 因為圓心 $O$ 在三角形內部，故圓心角 $\angle AOC = 360^\circ - (2\theta_1 + 2\theta_2)$。\\ 因此，線段 $\overline{AC}$ 之半弦長為： $$\dfrac{AC}{2} = R \sin\left(\dfrac{\angle AOC}{2}\right) = 8 \sin(180^\circ - (\theta_1 + \theta_2)) = 8 \sin(\theta_1 + \theta_2)$$ 利用正弦和角公式計算 $\sin(\theta_1 + \theta_2)$： $$\sin(\theta_1 + \theta_2) = \sin\theta_1\cos\theta_2 + \cos\theta_1\sin\theta_2$$ $$\sin(\theta_1 + \theta_2) = \left(\dfrac{\sqrt{15}}{4}\right) \left(\dfrac{7}{8}\right) + \left(\dfrac{1}{4}\right) \left(\dfrac{\sqrt{15}}{8}\right) = \dfrac{7\sqrt{15} + \sqrt{15}}{32} = \dfrac{8\sqrt{15}}{32} = \dfrac{\sqrt{15}}{4}$$ 代回可得： $$\dfrac{AC}{2} = 8 \times \dfrac{\sqrt{15}}{4} = 2\sqrt{15} \implies AC = 4\sqrt{15}$$